[論文レビュー] A Presentation of the Mapping Class Groups

Feng Luo|ArXiv.org|Jan 7, 1998

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、1つの穴あきトーラスまたは4つの穴あき球面に支持されるデーンねじみを生成子および関係式として用いることで、コンパクトな向きつけ可能な曲面の写像類群の有限提示を提示する。すべての関係式が1938年にデーンによって既に発見されていたことが示され、古典的な位相的道具を用いて群の代数的構造を統一的かつ最小限に記述する。

ABSTRACT

Using the works of Gervais, Harer, Hatcher and Thurston and others, we show that the mapping class group of a compact orientable surface has a presentation so that the generators are the set of all Dehn twists and the relations are supported in subsurfaces homeomorphic to the one-holed torus or the four-holed sphere. It turns out that all the relations were discovered by Dehn in 1938.

研究の動機と目的

• コンパクトな向きつけ可能な曲面の写像類群の有限提示を提供すること。
• 生成子をその曲面上のすべてのデーンねじみとして特定すること。
• 関係式を1つの穴あきトーラスまたは4つの穴あき球面に同相な部分曲面に支持されるものとして特徴づけること。
• すべてのこのような関係式が1938年にデーンによって既に発見されていたことを示すこと。
• ゲルヴァイ、ハラー、ハッチャーやトーラストンの基礎的結果を用いて、写像類群の代数的構造を統合的かつ明確にすること。

提案手法

• 本稿は、幾何的位相の基礎的結果、特にゲルヴァイ、ハラー、ハッチャー、トーラストンの結果を用いて、写像類群の構造を分析する。
• デーンねじみを写像類群の基本的生成集合として特定する。
• 生成子間の関係は、1つの穴あきトーラスまたは4つの穴あき球面に同相な部分曲面で生じる関係に制限される。
• この手法は、位相的分解技術および曲線系による曲面自己同型の分類に依存する。
• 既知の結果を統合して、群の完全かつ有限な提示を構築する。
• 提示が1938年にデーンが行ったオリジナルの仕事と整合することを示し、関係式集合の完全性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デーンねじみを生成子として用いる場合、写像類群の有限提示は何か？
• RQ2 どの位相的部分曲面が、写像類群の最小提示における関係式を支持するか？
• RQ3 このような提示におけるすべての関係式は、古典的業績で既に知られていたか？
• RQ4 1つの穴あきトーラスと4つの穴あき球面における関係式のみで、写像類群全体を捉えることができるか？
• RQ5 デーンの1938年の業績は、写像類群の定義関係を完全に記述するのに十分か？

主な発見

• 写像類群は、デーンねじみを生成子として有限提示を許容する。
• すべての定義関係式は、1つの穴あきトーラスまたは4つの穴あき球面に同相な部分曲面に支持される。
• この提示における関係式の完全な集合は、1938年にデーンによって既に発見されていた。
• 提示は最小限であり、代数的に完全で、古典的な位相的関係のみに依存する。
• この結果は、デーンの業績が現代の写像類群理解における基礎的役割を統合的かつ確認する。
• この手法は、写像類群全体を体系的かつ位相的に自然な方法で記述する手段を提供する。