[論文レビュー] A primer on A-infinity-algebras and their Hochschild homology

Stephan Mescher|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$A_{u}$-代数、そのホッシャルトホモロジーおよびコホモロジー、およびカップ積構造について、詳細な符号計算と証明を伴って、自己完結的で初等的な導入を提供する。ホッシャルトチェーン複体の長さフィルトレーションに対するスペクトル系列を確立し、$A_{u}$-バイモジュールの準同型が、その次数ゼロ成分が対応するグレーディング商のホモロジー同型を誘導するならば、ホッシャルトホモロジーに同型を誘導することを証明する。

ABSTRACT

We present an elementary and self-contained construction of $A_\infty$-algebras, $A_\infty$-bimodules and their Hochschild homology and cohomology groups. In addition, we discuss the cup product in Hochschild cohomology and the spectral sequence of the length filtration of a Hochschild chain complex. $A_\infty$-structures arise naturally in the study of based loop spaces and the geometry of manifolds, in particular in Lagrangian Floer theory and Morse homology. In several geometric situations, Hochschild homology may be used to describe homology groups of free loop spaces. The objective of this article is not to introduce new material, but to give a unified and coherent discussion of algebraic results from several sources. It further includes detailed proofs of all presented results.

研究の動機と目的

• 既存の文献に欠けている点を埋めるために、$A_{\infty}$-代数およびそのホッシャルト（コ）ホモロジーを統一的で自己完備的かつ初等的に取り扱うことを目的とする。
• 過去の出典でしばしば省略されたり一貫性が欠けたりしている、特にホッシャルトチェーン複体の微分に関する完全で明示的な符号計算を提供すること。
• 長さフィルトレーションのスペクトル系列を用いて、$A_{\infty}$-バイモジュールの準同型がホッシャルトホモロジーに同型を誘導するための基準を確立すること。
• ホッシャルトコホモロジーにおけるカップ積構造を明確にし、そのチェーンレベルでの実現を示すこと。
• 自由ループ空間ホモロジーおよびフローリング理論などの幾何的応用と、明示的な代数的道具を通じて関連付けること。

提案手法

• $A_{\infty}$-代数を、符号がマルテーザクロス表記で制御される、次数 $2-n$ の系列 $R$-加群の準同型 $\mu_n: A^{\bigotimes n} \to A$ を用いて定義する（1.1式の $A_{\infty}$-関係式を満たす）。
• $A$ 上の $A_{\infty}$-バイモジュール $M$ に対して、ホッシャルトチェーン複体 $CH_*(A;M)$ を構成し、テンソル積上に作用する $\mu_n$ の符号付き和として定義される微分 $\partial$ を導入する。
• $CH_*(A;M)$ に長さフィルトレーションを導入し、$F_p CH_*(A;M)$ を長さ $\leq p$ のチェーンからなる部分複体と定義し、関連するスペクトル系列を解析する。
• $A_{\infty}$-関係式と符号規則を用いた直接計算により、微分 $\partial$ が微分（すなわち $\partial^2 = 0$）であることを証明する。
• ホッシャルトコホモロジーを双対複体 $CH^*(A;M)$ を用いて定義し、$M = A$ のときホモロジーとの双対性を確立する。
• チェーン複体上の写像としてカップ積を構成し、それが結合的かつ次数交換的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $A_{\infty}$-代数およびそのホッシャルト（コ）ホモロジーを、一貫性のある符号規則を伴って、自己完備的かつ初等的に定義する方法は何か？
• RQ2 ホッシャルトチェーン複体 $CH_*(A;M)$ の正確な構造は何か？ その微分が $\partial^2 = 0$ を満たすことはどのように示せるか？
• RQ3 ホッシャルトチェーン複体の長さフィルトレーションのスペクトル系列はどのように振る舞い、その第一页は何か？
• RQ4 $A_{\infty}$-バイモジュールの準同型がホッシャルトホモロジーに同型を誘導するのはどのような条件下か？
• RQ5 ホッシャルトコホモロジーにおけるカップ積はチェーンレベルでどのように実現され、その代数的性質は何か？

主な発見

• ホッシャルトチェーン複体 $CH_*(A;M)$ の微分は、符号を丁寧に追跡した $A_{\infty}$-関係式の直接的検証により、$\partial^2 = 0$ を満たすことが証明された。
• 長さフィルトレーションに伴うスペクトル系列の第一页は、$H_*(M) \otimes H_*(A)^{\bigotimes p}$ に同型であり、微分は $\mu_1$ によって誘導される。
• $A_{\infty}$-バイモジュールの準同型 $f: M \to N$ は、誘導された写像 $f_{0,0}: M \to N$ がホモロジー $H_*(M) \to H_*(N)$ に同型を誘導するならば、ホッシャルトホモロジーに同型を誘導する。
• ホッシャルトコホモロジーにおけるカップ積は、コチェーン複体上のチェーン写像によって誘導され、結合的かつ次数交換的であることが保証される。
• 写像 $f_*: CH_*(A;M) \to CH_*(A;N)$ は、$f_{0,0} \otimes \mathrm{id}_{A^{\bigotimes p}}$ がホモロジーに同型を誘導するならば、スペクトル系列の第一页に同型を誘導する。これは $M$ と $N$ がねじれがない場合、クンネスの定理により成り立つ。
• スペクトル系列の第一页への誘導写像は $H_*(f_{0,0}) \otimes \mathrm{id}_{H_*(A)^{\bigotimes p}}$ に同型であり、五重補題を用いて、全写像 $f_*$ がホッシャルトホモロジーに同型を誘導することを結論づけた。