[論文レビュー] A Priori and A Posteriori Analysis of the Quasi-Nonlocal Quasicontinuum Method in 1D

Christoph Ortner|ArXiv.org|Nov 3, 2009

Numerical methods in engineering参考文献 22被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、1次元における準非局所クオシコンティンウム（QNL-QC）法について、一貫性誤差推定に負のソボレフノルムを用い、新規の安定性バインドを導入することで、a prioriおよびa posteriori誤差解析を厳密に行う。準最適誤差推定を確立し、QNL-QC法における初のa posteriori誤差推定を証明し、大変形下での解の存在および収束を保証する。

ABSTRACT

For a next-nearest neighbour pair interaction model in a periodic domain, a priori and a posteriori analyses of the quasinonlocal quasicontinuum method (QNL-QC) are presented. The results are valid for large deformations and essentially guarantee a one-to-one correspondence between atomistic solutions and QNL-QC solutions. The analysis is based on truncation error and residual estimates in negative norms and novel a priori and a posteriori stability estimates.

研究の動機と目的

• 大変形および非線形性を考慮した文脈におけるQNL-QC法を分析するための強固な解析的フレームワークの構築を目的とする。
• 従来の解析が線形化または小変形領域に限定されていたという限界を克服することを目的とする。
• 負のソボレフノルムおよび新規の安定性バインドを用いて、鋭いa prioriおよびa posteriori誤差推定を確立することを目的とする。
• 一般の変形条件下でも、原子論的解とQNL-QC解との間に1対1の対応関係を保証することを目的とする。
• 高次元および欠陥を含む系への解析の拡張の基盤を築くこと。

提案手法

• 一貫性誤差推定にℓpノルム手法に代わる負のソボレフノルムを用いることで、従来の方法で得られていた劣最適な結果を回避する。
• QNL-QC定式化におけるヘッセ作用素のa prioriおよびa posteriori推定に基づく、新規の安定性解析フレームワークを導入する。
• 関数空間上でのニュートン型反復法を適用し、解の存在および収束を証明する。
• [22]にインspiredされたガラーキン射影アプローチを採用し、ヘッセ作用素に対する高正則性仮定に依存しない。
• 近似解の情報を活用して真の誤差をバインドするための残差に基づくa posteriori誤差推定を導出する。
• 一貫性および安定性推定を組み合わせることで、原子論的スケールおよび解の滑らかさの観点から、準最適誤差バインドを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大変形領域におけるQNL-QC法について、一貫性および安定性の両立した誤差解析を構築できるか？
• RQ2 非線形的かつ滑らかでない状況下で、一貫性誤差を最適に推定する方法は何か？
• RQ3 QNL-QC法について、a posteriori誤差制御を厳密に確立でき、正確な解の存在を保証できるか？
• RQ4 負のソボレフノルムは、古典的ℓpノルムと比較して、誤差推定をどのように簡素化・改善するか？
• RQ5 この解析を高次元および欠陥を含む系へ一般化できるか？

主な発見

• 本稿は、QNL-QC法について、初の厳密なa posteriori誤差推定を確立し、計算可能な条件下で正確な解の存在を証明した。
• 新規の安定性推定（定理4.4）により、残差情報に基づく解の存在および収束のa posteriori制御が可能となった。
• 原子論的スケールおよび解の滑らかさに応じた準最適誤差推定が導出され、QNL-QC解の2階および3階微分の明示的依存性を示した。
• 負のソボレフノルムの使用により、従来のℓpノルム手法と比較して、はるかに単純かつ鋭い一貫性誤差推定が得られた。
• 本解析により、大変形下でも原子論的解とQNL-QC解との間で1対1の対応関係が保証された。
• 本フレームワークは、高次元および欠陥を含む系へ一般化可能であり、すでに有限要素粗粒化への拡張が進行中である。