[論文レビュー] A priori bounds and existence of solutions for some nonlocal elliptic problems

Begoña Barrios, Leandro M. Del Pezzo+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非局所拡散および勾配項を有する非局所楕円型方程式に対して、位相的次数論を用いて正の粘性解の存在を確立する。これは、Gidas-Spruck法のスケーリング版を用いて得られる事前評価に依拠している。主な貢献は、変分的構造を持たない場合にすら、亜臨곗乗数および小さな摂動のもとで解の存在を示したことである。

ABSTRACT

In this paper we show existence of solutions for some elliptic problems with nonlocal diffusion by means of nonvariational tools. Our proof is based on the use of topological degree, which requires a priori bounds for the solutions. We obtain the a priori bounds by adapting the classical scaling method of Gidas and Spruck. We also deal with problems involving gradient terms.

研究の動機と目的

• 非局所拡散および勾配項を有する非局所楕円型問題に対する解の存在を確立すること。変分的手法が適用できない場合を想定する。
• 亜臨곗乗数を有する非局所方程式の正の解に対する事前評価を導出すること。
• 楕円性および正規化条件を満たす一般核を有する非局所作用素に、古典的なGidas-Spruckスケーリング法を適応すること。
• 小さな摂動および勾配依存項を含む方程式に対し、存在結果を拡張すること。
• 境界正則性推定が不足する状況において、スケーリングされた領域における制御されたバリアを構築することで、境界挙動を制御すること。

提案手法

• 解の事前評価を必要とするため、Leray-Schauderの位相的次数論を用いて存在を証明する。
• 正の解に対する事前評価を導出するために、非局所版のGidas-Spruckスケーリング法を適用する。
• アニュラ領域における明示的バリアを構築し、スケーリング過程における境界挙動を制御する。
• スケーリングの極限において発散を排除するために、ℝᴺにおける非局所作用素に対するLiouville型定理に依拠する。
• 正則性および正規化のため、核Kにλ ≤ K(x) ≤ Λおよびlimₓ→₀ K(x) = 1の条件を課す。
• スケーリングの議論において矛盾を導くために、比較原理および強い最大原理を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 勾配項および亜臨곗乗数を有する非局所楕円型方程式の正の解に対して、事前評価を確立できるか？
• RQ2 楕円性および正規化条件を満たす一般核を有する非局所作用素に、古典的なGidas-Spruckスケーリング法を拡張できるか？
• RQ3 変分的構造を持たない非局所問題に対し、位相的次数論を用いて解の存在を証明できるか？
• RQ4 局所的境界推定が利用できない状況で、スケーリング法における境界挙動をどのように制御できるか？
• RQ5 摂動項h(x,u,∇u)にどのような条件を課すれば、亜臨곗乗数のもとで解の存在が保証されるか？

主な発見

• 方程式(1.2)のすべての正の解は、p < (N+2s)/(N−2s) のとき、事前評価が可能である。これは亜臨곗乗数である。
• p、g、および核Kに関する所定の条件下で、方程式(1.2)に対して少なくとも1つの正の粘性解の存在が証明された。
• 局所的境界推定がなくても、制御されたバリアを構築することで、修正されたGidas-Spruckスケーリング議論により事前評価が確立された。
• Caffarelli-Silvestre拡張を回避することで、スペクトル分数ラプラシアンを必要とせず、非局所作用素を直接取り扱えるようになった。
• 勾配依存摂動項hが|h(x,u,∇u)| ≤ C(|u|ʳ + |∇u|ᵗ)を満たし、r < pおよびt < pを満たす場合、小さな条件のもとで存在結果が成り立つ。
• バリア比較から得られる計算可能な定数C₀を用いて、非局所作用素の第一固有値λ₁ ≤ C₀であることを示す矛盾論証に依拠している。