[論文レビュー] A-priori bounds and multiplicity of solutions for nonlinear elliptic problems involving the fractional $p(\cdot)$-Laplacian

Ky Ho, Yun-Ho Kim|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は可変指数の分数的ソボレフ空間の基本埋め込みを確立し、非線形楕円型問題における分数的 $p(\cdot)$-ラプラシアンを含む、グローバルな事前評価および弱解の多重性を導出するために応用する。デ・ジョルジの反復法と変分法を用いて、制限の厳しい仮定を排除した一般の成長条件のもとで、無限個の弱解の存在を証明する。

ABSTRACT

We obtain fundamental imbeddings for the fractional Sobolev space with variable exponent that is a generalization of well-known fractional Sobolev spaces. As an application, we obtain a-priori bounds and multiplicity of solutions to some nonlinear elliptic problems involving the fractional $p(\cdot)$-Laplacian.

研究の動機と目的

• 可変指数の分数的ソボレフ空間を精緻化し、$\widetilde{p}(x,x) < q(x)$ という制限的条件を必要としない、コンパクトおよび連続的埋め込みを確立する。
• デ・ジョルジの反復法と局所化法を用いて、非線形楕円型問題における弱解のグローバルな事前評価を導出する。
• 領域 $\Omega$ における問題 $(-\Delta)_{p(x)}^{s}u = f(x,u)$ と外部境界条件がゼロである場合に、$f$ の一般の成長および構造的条件のもとで、無限個の弱解の存在を確立する。
• 変分法を非局所的・可変指数設定に拡張し、$(PS)$ 条件を証明し、エネルギー空間でゼロに収束する解の列を構成する。

提案手法

• 可変指数 $p(x,y)$ を持つ分数的ソボレフ空間 $W^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega)$ を導入・精緻化し、適切なノルムと位相的性質を保証する。
• 制限的条件 $\widetilde{p}(x,x) < q(x)$ を必要としない、連続的埋め込み $W^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega) \hookrightarrow L^{r(\cdot)}(\Omega)$ を $1 < r(x) < \frac{N\widetilde{p}(x,x)}{N - s\widetilde{p}(x,x)}$ に対して確立する。
• デ・ジョルジの反復法を応用し、非局所的設定に適応した方法を用いて、弱解のグローバルな $L^\infty$ 評価を導出する。これは、劣勾配 $p(\cdot)$-ラプラシアン方程式の既存手法を非局所的設定に拡張したものである。
• エネルギー汎関数 $\widetilde{E}(u)$ を用いた変分的枠組みを採用し、有限次元部分空間におけるコンパクトな埋め込みとノルムの同値性を用いて、$(PS)$ 条件を証明する。
• 対称的山脈通過定理を用い、部分空間 $X_n$ の列を構成し、$\sup_{u \in X_n \cap S_{r_n}} \widetilde{E}(u) < 0$ を示すことで、無限個の臨界点を導出する。
• 局所化法と有限次元部分空間におけるノルム同値性を用いて、$\|u_n\|_{L^{p(\cdot)}(\Omega)} \to 0$ を示し、$n$ が十分に大きい場合に解が非自明であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制限的仮定 $\widetilde{p}(x,x) < q(x)$ を必要としない、コンパクトな埋め込み $W^{s,q(\cdot),\widetilde{p}(\cdot,\cdot)}(\Omega) \hookrightarrow L^{r(\cdot)}(\Omega)$ を確立できるか？
• RQ2 有界なリプシッツ領域における分数的 $p(\cdot)$-ラプラシアン問題 $(-\Delta)_{p(x)}^{s}u = f(x,u)$ の弱解に対して、グローバルな事前評価が成り立つか？
• RQ3 一般の非線形性条件のもとで、分数的 $p(\cdot)$-ラプラシアン問題における無限個の弱解の存在を確立できるか？
• RQ4 可変指数分数的ソボレフ空間における関連エネルギー汎関数に対して、$(PS)$ 条件が満たされるか？
• RQ5 デ・ジョルジの反復法は、非局所的・可変指数設定において $L^\infty$ 評価を導出するために適応可能か？

主な発見

• 本稿は、$\widetilde{p}(x,x) < q(x)$ を必要としない、連続的埋め込み $W^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega) \hookrightarrow L^{r(\cdot)}(\Omega)$ を $1 < r(x) < \frac{N\widetilde{p}(x,x)}{N - s\widetilde{p}(x,x)}$ に対して確立し、先行研究を一般化する。
• デ・ジョルジの反復法を用いて、弱解のグローバルな $L^\infty$ 評価を導出し、一般の構造的仮定のもとで、解が $\Omega$ で一様有界であることを証明する。
• エネルギー汎関数 $\widetilde{E}(u)$ は $W_0^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega)$ 上で $(PS)$ 条件を満たすため、臨界点理論の適用が可能である。
• 無限個の弱解は、対称的山脈通過定理を適用することで得られ、解の列 $\{u_n\}$ は $W_0^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega)$ および $L^{p(\cdot)}(\Omega)$ でゼロに収束する。
• 解 $u_n$ は $n$ が十分に大きい場合に非自明であることが示され、$\|u_n\|_{L^{\infty}(\Omega)} \to 0$ であるが $\|u_n\|_{s,p} = r_n > 0$ であるため、極限においても非自明性が保証される。
• 証明により、エネルギー恒等式を満たす唯一の解は $\bar{u} = 0$ であることが示され、列 $\{u_n\}$ が互いに異なる非自明な弱解から成り、ゼロに収束することが確認される。