[論文レビュー] A priori bounds and weak solutions for the nonlinear Schrödinger equation in Sobolev spaces of negative order

Michael Christ, J. Colliander+1 more|ArXiv.org|Dec 15, 2006

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$s > -\frac{1}{12}$ における負の順位のソボレフ空間 $H^s$ において、1次元立方非線形シュレーディンガー方程式の事前境界を確立する。滑らかな解の $H^s$ ノルムは、初期データの大きさにかかわらず、短時間の間、一様に有界のままである。さらに、$H^s$ に属する任意の初期データに対して、$C^0([0,T], H^s) \cap Y^{s,b}$ に弱解を構成する。これは、エネルギー増分式におけるキャンセルを活用する、新しい多変数フーリエ解析の手法に基づく。

ABSTRACT

Solutions to the Cauchy problem for the one-dimensional cubic nonlinear Schrödinger equation on the real line are studied in Sobolev spaces $H^s$, for $s$ negative but close to 0. For smooth solutions there is an {\em a priori} upper bound for the $H^s$ norm of the solution, in terms of the $H^s$ norm of the datum, for arbitrarily large data, for sufficiently short time. Weak solutions are constructed for arbitrary initial data in $H^s$.

研究の動機と目的

• $s < 0$ のとき $H^s$ で解が適切でないことが知られているにもかかわらず、$s > -\frac{1}{12}$ のとき、1次元立方非線形シュレーディンガー方程式の滑らかな解の $H^s$ ノルムの事前境界を確立すること。
• $s < 0$ のとき $H^s$ で一様連続性が失敗することを克服し、$s > -\frac{1}{12}$ のとき、$H^s$ に属する任意の初期データに対して $C^0([0,T], H^s) \cap Y^{s,b}$ に弱解を構成すること。
• $s < -\frac{1}{2}$ のとき一様連続性が失敗するにもかかわらず、$s > -\frac{1}{12}$ のとき、解写像が $C^0(H^s)$ においてゼロで連続であることを示すこと。
• 完全可積分性に依存しない、負の順位のソボレフ空間における弱解の枠組みを提供すること。非可積分な一般化にも適用可能である。

提案手法

• 線形差のないキャンセルを活用し、$u$ の時空間フーリエ変換における多変数表現として、$\|u(t)\|_{H^s}^2 - \|u_0\|_{H^s}^2$ の増分を再定式化する。
• $|u|^2u$ の非線形項を、そのフーリエ変換の絶対収束積分表現によって制御する $X^{r,b}$ および $Y^{s,b}$ 関数空間の使用。
• $s' \in (s,0)$ に対して $\varphi(\xi) \leq \langle\xi\rangle^{2s'}$ を満たす周波数依存重み関数 $\varphi(\xi)$ を導入し、高周波数制御を局所化し、等連続性を確立する。
• $u_0 \in H^s$ を近似する初期データを持つ解の等連続族を用いた極限議論を適用し、部分列収束により $C^0(H^s)$ 内の弱解を導出する。
• $s > -\frac{1}{12}$ のとき、$|\Phi_\varphi(t,u) - \Phi_\varphi(0,u)| \leq C\|u\|_{Y^{s,b}}^4$ の境界を確立し、高周波数 $H^s$ ノルムを一様に制御する。
• $b > \frac{1}{2}$ のとき $Y^{s,b}$ が $C^0(H^s)$ に連続的に埋め込まれることを用い、解の時間的連続性（$H^s$ 値）を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $s < 0$ のとき $H^s$ で解が適切でないことが知られているにもかかわらず、$s > -\frac{1}{12}$ のとき、1次元立方非線形シュレーディンガー方程式の解の $H^s$ ノルムに事前境界を確立できるか？
• RQ2 $s < 0$ のとき $H^s$ で解写像が連続性を失うにもかかわらず、$s > -\frac{1}{12}$ のとき、$H^s$ に属する任意の初期データに対して $C^0([0,T], H^s) \cap Y^{s,b}$ に弱解を構成できるか？
• RQ3 $s < -\frac{1}{2}$ のとき一様連続性が失敗するにもかかわらず、$s > -\frac{1}{12}$ のとき、解作用素が $C^0(H^s)$ においてゼロで連続のままであるか？
• RQ4 $Y^{s,b}$ 空間の枠組みを用いて、フーリエ空間における絶対収束積分として $|u|^2u$ を解釈する自然な弱解の定義が可能か？

主な発見

• $s > -\frac{1}{12}$ のとき、滑らかな解の $H^s$ ノルムは、短時間区間 $[0,T]$ において一様に有界であり、$T$ は初期データの大きさの負のべき乗に比例する。
• $r < s$ かつ $s > -\frac{1}{12}$ のとき、$|\|u(t)\|_{H^s}^2 - \|u_0\|_{H^s}^2| \leq C\|u\|_{X^{r,b}}^4$ の境界が成り立つ。多変数フーリエ表現におけるキャンセルにより、解の差の連続性推定が不可能である。
• $s > -\frac{1}{12}$ のとき、$H^s$ に属する任意の初期データに対して、$C^0([0,T], H^s) \cap Y^{s,b}$ に弱解が存在する。これは近似と部分列収束により構成される。
• 高周波数 $H^s$ ノルムは一様に制御される：任意の $\varepsilon > 0$ に対して、$\delta > 0$ および $N < \infty$ が存在し、$|\xi| \geq N$ における $\|v(t)\|_{H^s}^2$ がすべての $t \in [0,T]$ で $\varepsilon$ 未満になるように、$\|v_0 - u_0\|_{H^s} < \delta$ となる。これにより等連続性が保証される。
• 解写像は $s > -\frac{1}{12}$ のとき $C^0(H^s)$ においてゼロで連続であるが、弱解の構成に関しては連続性や一意性は示されない。
• 結果は、$H^0$ ノルム保存が成り立つ限り、1次元立方NLSの非可積分なベクトル値一般化へも拡張可能である。