[論文レビュー] A priori estimates for elliptic equations with reaction terms involving the function and its gradient

Marie‐Françoise Bidaut‐Véron, Marta García‐Huidobro+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用数 32

ひとこと要約

本稿では、$p,q>1$ および $M\in\mathbb{R}$ である $\mathbb{R}^N$ 上の楕円型方程式 $-\Delta u = u^p + M|\nabla u|^q$ に対する事前推定を確立し、基底状態の存在／非存在を分析する。ベルンシュタイン法および積分法を用いて臨界指数と分岐分岐を同定し、$N\geq4$ において $p>\frac{N+1}{N-3}$ のとき非回転的特異解が存在することを証明。また、球面上のスペクトル解析により解の構造を特徴づける。

ABSTRACT

We study local and global properties of solutions of --$\\Delta$u = u p + M ||u| q in a domain $\\Omega$ of R N , in the range min{p, q} > 1 and M $\\in$ R. We prove a priori estimates and existence or non-existence of ground states.

研究の動機と目的

• 正の解に対する半線形楕円型方程式 $-\Delta u = u^p + M|\nabla u|^q$ が $\mathbb{R}^N$ 上で $p,q>1$ および $M\in\mathbb{R}$ を満たす場合の事前推定を確立すること。
• 基底状態（$\mathbb{R}^N$ 上の正の解）の存在・非存在が臨界指数とどのように関係するかの条件を特定すること。
• 球面 $S^{N-1}$ 上の固有関数を用いた分岐理論とスペクトル解析により、特異的かつ非回転的解の構造を分析すること。
• 勾配依存反応項を含む場合に、ラン・エムデン方程式の既知の結果を、洗練された解析的手法を導入することで拡張すること。

提案手法

• 方程式を $u = v^{-\beta}$ と変換し、$|\nabla v|$ を解析することで、直接ベルンシュタイン法を適用し、点推定を得ること。
• 精密化されたベルンシュタイン法を用いて、特に $p > \frac{N+2}{N-2}$ の超臨界的領域において、改善された推定を得ること。
• ハーディ＝リトルウッド＝ソボレフおよびローレンツ空間埋め込みに基づき、$L^p$ 型不等式とブートストラップ推定を導出する積分法の適用。
• エネルギー関数とポホジャーエフ＝プッチ＝セリーン型の恒等式を用いた回転対称基底状態の分析により、存在性とスケーリング挙動を研究すること。
• 球面 $S^{N-1}$ 上での分岐解析において、$-\Delta'$ の固有関数、特に $\psi_1 = x_N|_{S^{N-1}}$ を用い、非回転的解を構成すること。
• 接続条件と陰関数定理を用いて、既知の解 $M_0$ から分岐する局所的解曲線 $(M(s), \omega_{M(s)})$ を構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 方程式 $-\Delta u = u^p + M|\nabla u|^q$ が $\mathbb{R}^N$ 上で正の基底状態を有するための $p$, $q$, および $M$ に関する条件は何か？
• RQ2 臨界指数 $p = \frac{N}{N-2}$ および $p = \frac{N+2}{N-2}$ は、解の存在性と正則性にどのように影響するか？
• RQ3 $M$ の符号は非回転的特異解の存在にどのような役割を果たし、分岐挙動にどのように影響するか？
• RQ4 $N \geq 4$ かつ $p > \frac{N+1}{N-3}$ のとき、非回転的解は回転的解からの分岐によって構成可能か？

主な発見

• すべての $p>1$ および $q = \frac{2p}{p+1}$ に対して、$\mathbb{R}^N \setminus \{0\}$ 上で $u(r,\sigma) = r^{-\frac{2}{p-1}}\omega(\sigma)$ の形をした非回転的特異解が存在する。
• $N \geq 4$ および $p > \frac{N+1}{N-3}$ のとき、$M>0$ を持つ分岐分岐から非回転的解が生じる。
• $N \geq 3$ および $\frac{N}{N-2} \leq p < \frac{N+1}{N-3}$ のとき、$M<0$ を持つ分岐から非回転的解が出現する。
• $N=1,2$ または $N\geq3$ で $1<p<\frac{N}{N-2}$ のとき、$M_k < -\mu^*$（$k \geq 1$）における分岐から非回転的解が得られる。
• 指数 $p = \frac{N+1}{N-3}$ は、球面 $S^{N-1}$ 上のソボレフ臨界指数として特定され、分岐挙動の閾値を示す。
• $p = \frac{N+1}{N-3}$ かつ $M=0$ のとき、分離可能な方程式には非定数を含む無限個の正の解が存在する。