[論文レビュー] A priori Estimates for the Compressible Euler Equations for a Liquid with Free Surface Boundary and the Incompressible Limit

Hans Lindblad, Chenyun Luo|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非有理化を仮定しない圧縮流体の自由表面境界を有する圧縮Euler方程式に対して、一様な事前エネルギー推定を確立する。ChristodoulouとLindbladの研究を圧縮系に一般化し、音速 → ∞ の極限で解が非圧縮解に収束することを示し、音速に一様なエネルギーバインディングを得ることで、わずかに圧縮性のある流体の長時間存在可能性の解析が可能になる。

ABSTRACT

In this paper, we prove a new type of energy estimates for the compressible Euler's equation with free boundary, with a boundary part and an interior part. These can be thought of as a generalization of the energies in Christodoulou and Lindblad [CL] to the compressible case and do not require the fluid to be irrotational. In addition, we show that our estimates are in fact uniform in the sound speed. As a consequence, we obtain convergence of solutions of compressible Euler equations with a free boundary to solutions of the incompressible equations, generalizing the result of Ebin [Eb] to when you have a free boundary. In the incompressible case our energies reduces to those in [CL] and our proof in particular gives a simplified proof of the estimates in [CL] with improved error estimates. Since for an incompressible irrotational liquid with free surface there are small data global existence results our result leaves open the possibility of long time existence also for slightly compressible liquids with a free surface.

研究の動機と目的

• 自由表面境界を有する圧縮Euler方程式に対する、有理化を仮定しない事前エネルギー推定を確立すること。
• エンタルピーと密度関数に基づく新しいエネルギー構造を導入することで、ChristodoulouとLindbladのエネルギーフレームワークを圧縮系に一般化すること。
• これらのエネルギー推定が音速 κ に一様であることを証明し、非圧縮極限の解析を可能にすること。
• 音速 κ → ∞ の極限において、圧縮自由境界問題の解が非圧縮Euler方程式の解に収束することを示すこと。
• 新しいフレームワークの特別な場合として、ChristodoulouとLindbladの非圧縮エネルギー推定が回復され、簡素化されることを示すこと。

提案手法

• エンタルピー h(ρ) = ∫₁^ρ p′(λ)λ⁻¹ dλ を導入し、e(h) = log ρ(h) を定義することで、圧縮方程式を非圧縮Euler方程式に類似した形に変換する。
• 内部および境界寄与を含む新しいエネルギー関数 E_r* を定義し、√e′(h)D_t^r h を含む重み付き項を導入することで、より良い制御を得る。
• 物質微分 D_t = ∂_t + v^k ∂_k を用い、部分積分を用いてエネルギー推定を導出し、第二基本形式 θ を用いて境界項を注意深く取り扱う。
• 境界項の制御を −∇_N h ≥ ε > 0 という条件により行い、自由表面の物理的安定性を保証する。
• 楕円的推定とSobolev埋め込みを適用し、L^∞ 範囲をエネルギー範囲で有界化することで、事前推定の閉じることを可能にする。
• 音速 κ における一様性を証明するため、エネルギー推定および境界 (1.30)–(1.34) が κ → ∞ においても有効であることを示し、e_κ(h) → 0 かつ |e_κ^{(k)}(h)| ≤ c₀√e_κ′(h)（k ≤ 6）の条件下で成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由表面境界を有する圧縮Euler方程式に対して、有理化を仮定しない事前エネルギー推定を確立できるか？
• RQ2 エネルギー推定を音速 κ に一様にできるか。これにより、非圧縮極限の厳密な導出が可能になるか？
• RQ3 新しいエネルギー構造は、ChristodoulouとLindbladの非圧縮エネルギー推定を極限として回復し、簡素化できるか？
• RQ4 圧縮自由境界問題の解が κ → ∞ のとき、非圧縮解に収束する条件は何か？
• RQ5 事前推定は時間に一様に閉じることができるか。これにより、わずかに圧縮性のある流体の長時間存在可能性の可能性が示唆されるか？

主な発見

• 本稿は、仮定 (1.8)、(1.30)–(1.34) の下で、0 ≤ r ≤ 4 に対して、自由表面境界を有する圧縮Euler方程式の事前エネルギー推定を確立し、|dE_r/dt| ≤ C_r(K, 1/ε, M, c₀, vol D_t, E_{r-1}*) E_r* という境界を得る。
• エネルギー推定は音速 κ に一様であることが示され、定理 LABEL:uniform_energybounds および命題 LABEL:uniform_kk より、非圧縮極限への移行が可能になる。
• κ → ∞ のとき、圧縮解 (v_κ, h_κ) は非圧縮Euler方程式の解に収束する。これは、Ebinの結果を自由境界系に一般化したものである。
• 非圧縮極限（e_κ(h) → 0）において、エネルギー関数はChristodoulouとLindbladのものに還元され、その推定の簡素化および改善されたバージョンが得られる。
• 条件 −∇_N h ≥ ε > 0 は適切な定式化に不可欠であり、これを満たさない場合、反例 [CL] より問題は適切でなくなる。
• n ≤ 3 のとき、やや強い初期条件の下で、初期エネルギーおよび L^∞ 範囲にのみ依存する小刻み時間 t ≤ T に対して、事前 L^∞ 範囲 (1.32)–(1.34) は閉じられ、命題 LABEL:a_priori_estimate_strong で示される。