[論文レビュー] A priori Holder estimate, parabolic Harnack principle and heat kernel estimates for diffusions with jumps

Zhen-Qing Chen, Takashi Kumagai|ArXiv.org|Aug 29, 2008

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、拡散成分とジャンプ成分を併せ持つ非局所作用素に関連する放物型関数について、事前 Hölder 連続性と放物型 Harnack 原理を確立する。このような過程のための鋭い両側ヒートカーネル推定を導出し、安定的スケーリングを満たす一般の Lévy カーネルを有するジャンプ・拡散過程へ古典的結果を拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the following type of non-local (pseudo-differential) operators $\LL $ on $\R^d$: $$ \LL u(x) =\frac12 \sum_{i, j=1}^d \frac{\partial}{\partial x_i} (a_{ij}(x) \frac{\partial}{\partial x_j}) + \lim_{\eps \downarrow 0} \int_{\{y\in \R^d: |y-x|>\eps\}} (u(y)-u(x)) J(x, y) dy, $$ where $A(x)=(a_{ij}(x))_{1\leq i, j\leq d}$ is a measurable $d imes d$ matrix-valued function on $\R^d$ that is uniform elliptic and bounded and $J$ is a symmetric measurable non-trivial non-negative kernel on $\R^d imes \R^d$ satisfying certain conditions. Corresponding to $\LL$ is a symmetric strong Markov process $X$ on $\R^d$ that has both the diffusion component and pure jump component. We establish a priori Hölder estimate for bounded parabolic functions of $\LL$ and parabolic Harnack principle for positive parabolic functions of $\LL$. Moreover, two-sided sharp heat kernel estimates are derived for such operator $\LL$ and jump-diffusion $X$. In particular, our results apply to the mixture of symmetric diffusion of uniformly elliptic divergence form operator and mixed stable-like processes on $\R^d$. To establish these results, we employ methods from both probability theory and analysis.

研究の動機と目的

• 拡散成分とジャンプ成分を併せ持つ非局所作用素に関連する有界な放物型関数の事前 Hölder 連続性を確立すること。
• このような作用素の正の放物型関数に対して放物型 Harnack 原理を証明すること。
• 関連する強マルコフ過程の両側鋭いヒートカーネル推定を導出すること。
• 純粋な拡散的または純粋な安定的スケーリングを有する過程からの古典的結果を、一般のスケーリング行動を有する混合ジャンプ・拡散過程へ拡張すること。
• 変数係数と特異的ジャンプ核を有する非局所作用素の研究において、確率論的および解析的手段を統合すること。

提案手法

• 均一的強楕円型発散型形式の拡散部と、$J(x,y) \leq \kappa_0 |x-y|^{-d-\beta}$ を満たす核 $J(x,y)$ を持つ特異積分ジャンプ部の和として定義される非局所作用素 $\mathcal{L}$ を用いる。
• 空間時空集合の抜ける時間と到達確率を用いて、遷移密度に関する推定を導出する確率論的技法を適用する。
• 時間と空間の過程 $Z_t = (V_t, X_t)$ を用い、後向き時間発展を用いて到達確率を分析し、カップリング議論を構築する。
• 特に小さなジャンプと大きなジャンプのスケーリング領域を扱うために、関数 $\widetilde{\phi}(r) = \phi(r) \wedge r^2$ を用いる。
• 中間時間ステップ $t/N$ を用いたチェインジング議論を適用し、ガウス型減衰が現れる短時間領域における下界を導出する。
• 比較原理と先行研究（例：[CK2], [SV]）からの推定を用い、一般の $\phi$ が (1.7) および (1.8) を満たす現状に適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡散成分とジャンプ成分を併せ持つ非局所作用素に対して、放物型 Harnack 原理が成り立つ条件は何か？
• RQ2 安定的スケーリングを満たす一般の Lévy カーネルを有するジャンプ・拡散過程のための鋭い両側ヒートカーネル推定は何か？
• RQ3 このような非局所作用素の有界な放物型関数に対して、事前 Hölder 正則性を確立できるか？
• RQ4 ジャンプ核 $J(x,y)$ のスケーリング特性が、ヒートカーネルの正則性と減衰に与える影響は何か？
• RQ5 拡散過程および安定過程に対する古典的結果が、変数係数と非一様なジャンプ強度を有する一般の混合ケースへどの程度拡張可能か？

主な発見

• 有界な放物型関数 $\mathcal{L}$ に対して、事前 Hölder 連続性推定が確立され、一般のジャンプ・拡散ダイナミクス下で局所的正則性が保証される。
• 放物型 Harnack 原理が成立する：任意の $\delta > 0$ に対して、$c_1 > 0$ が存在し、非負の放物型関数 $h$ に対して $\sup_{Q(\delta\widetilde{\phi}(R),z,R)} h \leq c_1 \inf_{B(z,R)} h(0,\cdot)$ が成り立つ。
• 両側鋭いヒートカーネル推定が導出される：$t \lesssim r^2$ のとき $p(t,x,y) \asymp t^{-d/2} \exp(-c r^2/t)$、$t \gtrsim r^2$ のとき $p(t,x,y) \asymp t \cdot |x-y|^{-d} \phi(|x-y|)^{-1}$ であり、$r = |x-y|$ である。
• 下界が証明される：$|x-y| \leq c_2 \widetilde{\phi}^{-1}(t)$ のとき $p(t,x,y) \geq c_1 (\widetilde{\phi}^{-1}(t))^{-d}$ であり、$\widetilde{\phi}(r) = \phi(r) \wedge r^2$ である。
• ヒートカーネルは、$\phi$ のスケーリングに応じて、長期的領域では安定的行動を示し、短期的領域ではガウス型減衰を示す。
• 結果は、均一的強楕円型拡散と混合安定的スケーリング過程の混合に適用可能であり、非一様的かつ変数係数設定への既知の推定を一般化する。