[論文レビュー] A Priori Lipschitz Estimates for Solutions of Local and Nonlocal Hamilton-Jacobi Equations with Ornstein-Uhlenbeck Operator

Emmanuel Chasseigne, Olivier Ley+1 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^N$ 上のオーランシュタイン＝ウーレンバック型の駆動を持つ局所的および非局所的ハミルトニアン・ジャコビ方程式の有界でない粘性解について、事前 Lipschitz 評価を確立する。先行研究を一般化し、部分線形ハミルトニアン、非等方的拡散行列、および分数ラプラシアン型の非局所積分微分作用素を許容する。データの適切な成長条件の下で、解が $|u(x,t)-u(y,t)| \leq C(\phi_\mu(x)+\phi_\mu(y))|x-y|$ を満たすことを証明する。ここで $\phi_\mu(x) = e^{\mu\sqrt{1+|x|^2}}$ である。

ABSTRACT

We establish a priori Lipschitz estimates for unbounded solutions of second-order Hamilton-Jacobi equations in R^N in presence of an Ornstein-Uhlenbeck drift. We generalize the results obtained by Fujita, Ishii \\& Loreti (2006) in several directions. The first one is to consider more general operators. We first replace the Laplacian by a general diffusion matrix and then consider a nonlocal integro-differential operator of fractional Laplacian type. The second kind of extension is to deal with more general Hamiltonians which are merely sublinear. These results are obtained for both degenerate and nondegenerate equations.

研究の動機と目的

• 有界解や Lipschitz ハミルトニアンにとどまらない、$\mathbb{R}^N$ 上のハミルトニアン・ジャコビ方程式に対する事前 Lipschitz 評価の拡張。
• 一般の拡散行列（非等方的）および分数ラプラシアン型の非局所積分微分作用素の統合。
• 部分線形ハミルトニアン $H$ に対して $|H(x,p)| \leq C_H(1+|p|)$ を満たすものとして、最適制御および微分ゲームへの応用を可能にする。
• エルゴード的および大時間挙動解析のため、$\lambda > 0$ および $t > 0$ に依存しない一様評価の確立。
• データおよび解の最適な成長率 $\phi_\mu(x) = e^{\mu\sqrt{1+|x|^2}}$ の特定。これは、以前の $e^{\mu|x|^2}$ の境界を改善する。

提案手法

• オーランシュタイン＝ウーレンバック型駆動が $\langle b(x)-b(y),x-y\rangle \geq \alpha|x-y|^2$ を満たす $\mathbb{R}^N$ 上の有界でない解に対する粘性解理論の使用。
• 変数の二重化技術の適応に、修正されたテスト関数 $\varphi(x,y) = \phi(x) + \psi(|x-y|)$ を用いる。ここで $\psi$ は $C^2$ 切断関数である。
• 非局所作用素 $\mathcal{I}(x,u,D_x\varphi) - \mathcal{I}(y,u,-D_y\varphi)$ の推定は、錐分解 $\mathcal{C}_{\eta,\gamma}(a)$ と核 $l(a,s,z)$ のきめ細かい制御を用いる。
• Lévy 測度の仮定、すなわち $\int_B |z|^2 \nu(dz) < \infty$ および $\int_{B^c} \phi_\mu(z) \nu(dz) < \infty$ を用いて、非局所項の成長を制御し、$\mathcal{E}_\mu$ 内での定義可能性を保証する。
• 核 $\nu$ の構造（例：温度付き $\beta$-安定分布）を用いて、負定値項 $-\Lambda |a|^{-\tilde{\theta}}$ を導出し、非局所差の下界を得る。
• 局所的および非局所的評価を組み合わせ、$\lambda$ や $t$ に依存しない定数を有する最終的な Lipschitz 界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オーランシュタイン＝ウーレンバック型駆動と部分線形ハミルトニアンを有するハミルトニアン・ジャコビ方程式の有界でない解について、事前 Lipschitz 評価を確立できるか。
• RQ2 非局所的または非等方的拡散が存在する状況で、Lipschitz 正則性を保証するための最適な成長条件 $\phi_\mu(x)$ は何か。
• RQ3 非局所方程式における Lévy 測度 $\nu$ の構造、特に温度付き $\beta$-安定分布の場合に、評価がどのように依存するか。
• RQ4 ラプラシアンから一般の拡散行列 $A(x) = \sigma(x)\sigma^T(x)$ への拡張は可能か。ただし $\sigma \in W^{1,\infty}$ とする。
• RQ5 特に $H$ が $x$ に依存する場合や作用素が非局所的な場合に、$\phi_\mu(x) = e^{\mu\sqrt{1+|x|^2}}$ の成長率が最適であるか。

主な発見

• 本稿は、オーランシュタイン＝ウーレンバック型駆動を持つ局所的および非局所的ハミルトニアン・ジャコビ方程式の解について、$|u(x,t) - u(y,t)| \leq C(\phi_\mu(x) + \phi_\mu(y))|x-y|$ の形の事前 Lipschitz 評価を確立する。
• 成長関数 $\phi_\mu(x) = e^{\mu\sqrt{1+|x|^2}}$ が評価に十分であることが示され、Fujita 他（2006）の古典的境界 $e^{\mu|x|^2}$ よりも改善されている。
• 評価は、$x$ や $p$ における Lipschitz 連続性を仮定しない部分線形ハミルトニアン $H$ に対しても成立する。
• 非局所ケースでは、Lévy 測度 $\nu$ が $\int_B |z|^2 \nu(dz) < \infty$ および $\int_{B^c} \phi_\mu(z) \nu(dz) < \infty$ を満たす必要がある。これは、$\beta \in (0,2)$ の温度付き $\beta$-安定分布に対して成り立つ。
• 評価における定数は $\lambda > 0$ および $t > 0$ に依存しない。これにより、エルゴード問題や大時間挙動への応用が可能である。
• 非局所差 $\mathcal{I}(x,u,D_x\varphi) - \mathcal{I}(y,u,-D_y\varphi)$ は、負定値項 $-\Lambda |a|^{-\tilde{\theta}}$ によって下から抑えられ、最終的な評価において中心的な役割を果たす。