[論文レビュー] A probabilistic algorithm to compute the real dimension of a semi-algebraic set

Mohab Safey El Din, Elias Tsigaridas|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2013

Polynomial and algebraic computation参考文献 38被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、半代数的集合の実次元を(sD)^O(n)の算術演算で確率的アルゴリズムによって計算する手法を提示している。これは、nに線形に依存する指数を持つ単一指数的複雑性を達成し、計算実代数幾何学における長年の未解決問題を解消する。この手法は、量化子除去、無限小摂動を用いた極限計算、臨界点の有理パラメータ化を活用し、符号条件の実現可能性のチェックによって次元を効率的に決定する。

ABSTRACT

Let $\\RR$ be a real closed field (e.g. the field of real numbers) and $\\mathscr{S} \\subset \\RR^n$ be a semi-algebraic set defined as the set of points in $\\RR^n$ satisfying a system of $s$ equalities and inequalities of multivariate polynomials in $n$ variables, of degree at most $D$, with coefficients in an ordered ring $\\ZZ$ contained in $\\RR$. We consider the problem of computing the {\\em real dimension}, $d$, of $\\mathscr{S}$. The real dimension is the first topological invariant of interest; it measures the number of degrees of freedom available to move in the set. Thus, computing the real dimension is one of the most important and fundamental problems in computational real algebraic geometry. The problem is ${\ m NP}_{\\mathbb{R}}$-complete in the Blum-Shub-Smale model of computation. The current algorithms (probabilistic or deterministic) for computing the real dimension have complexity $(s \\, D)^{O(d(n-d))}$, that becomes $(s \\, D)^{O(n^2)}$ in the worst-case. The existence of a probabilistic or deterministic algorithm for computing the real dimension with single exponential complexity with a factor better than ${O(n^2)}$ in the exponent in the worst-case, is a longstanding open problem. We provide a positive answer to this problem by introducing a probabilistic algorithm for computing the real dimension of a semi-algebraic set with complexity $(s\\, D)^{O(n)}$.

研究の動機と目的

• 半代数的集合の実次元が、最悪ケースにおいて指数O(n)の単一指数的時間で計算可能かどうかという未解決問題に取り組むこと。
• dが大きい場合に劣化する(sD)^O(n²)または(sD)^O(d(n−d))の複雑性を示す既存のアルゴリズムよりも改善すること。
• 計算実代数幾何学における基本的な位相的不変量である実次元を、実用的かつ効率的に計算するソリューションを提供すること。
• 量化子除去、極限計算、符号条件解析を統合した次元計算のフレームワークを確立すること。

提案手法

• アルゴリズムは、無限小摂動と極限計算に基づく確率的アプローチを用いて、半代数的集合の次元を分析する。
• 実数上の量化子除去を適用し、無限小パラメータεが0に近づく際のパラメータ化された半代数的集合の極限を計算する。
• 射影の臨界点は有理パラメータ化技術を用いて計算され、これにより効率的な極限計算と符号の決定が可能になる。
• 与えられた符号パターンが非空の半代数的集合に対応するかどうかを評価するサブルーチンを用いて、符号条件の実現可能性をチェックする。
• 符号計算と次数の制御された成長を伴うパラメータ化を実行するため、係数環上の単変多項式の準結果列に依存する。
• 全体的な構造は、円筒代数的分解、ロードマップ構築、無限小摂動の技術を統合し、最適な複雑性を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半代数的集合の実次元は、O(n²)ではなくO(n)の指数を持つ単一指数的時間で計算可能か？
• RQ2 実次元計算において(sD)^O(n)の複雑性を達成する確率的アルゴリズムは存在するか？ これにより、先行する境界が改善されるか？
• RQ3 極限計算と符号条件の実現可能性を効果的に組み合わせることで、完全な量化子除去を避けて次元を決定できるか？
• RQ4 無限小摂動と有理パラメータ化の使用により、従来の方法よりも効率的な次元計算が可能になるか？
• RQ5 次元計算の複雑性を出力に依存させる形にし、指数から次元dに依存しないようにできるか？

主な発見

• 本稿では、半代数的集合の実次元を(sD)^O(n)の算術演算で確率的アルゴリズムによって計算する手法を提示している。これは、nに線形に依存する指数を持つ単一指数的複雑性を達成する。
• これは、KoiranとVorobjovが提起した、実次元が(sD)^O(n)の時間で計算可能かどうかという長年の未解決問題を解決する。
• このアルゴリズムは、実数上の量化子除去と、無限小摂動による極限計算、臨界点の有理パラメータ化を組み合わせることで達成される。
• 複雑性の上限は変数の数nに関してタイトであり、Koiranの(sD)^O(n²)の境界およびVorobjovの(sD)^O(d(n−d))の境界よりも顕著に改善されている。
• この手法は強固であり、実閉体に対しても適用可能であり、係数環がZ = Zの場合のビット複雑性の境界が導出されている。
• このアルゴリズムの効率性は、無限小パラメータと極限解析の新規な使用に起因し、高価な完全分解を回避することで、より速い次元検出が可能になる。