[論文レビュー] A probabilistic and deterministic modular algorithm for computing Groebner basis over $\Q$

Bernard Parisse|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2013

Polynomial and algebraic computation参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、中国剰余定理とファレイ再構成を用いてℚ上でのグレブナー基底を計算する確率的かつ決定的モジュラー手法を提示する。新規の誤り検出戦略により、ユーザーは高速な確率的結果と数学的に保証された決定的結果の両方を選択可能である。この手法は、特にメモリ効率とマルチコアシステムでの速度において競争力を持ち、Singularのようなオープンソースツールを上回り、特定のベンチマークでMaple や Magma といった商用システムと同等またはそれを上回る性能を発揮する。コード量は約1万行であり、高度に最適化された20万行のシステムに比べて大幅に少ない。

ABSTRACT

Modular algorithm are widely used in computer algebra systems (CAS), for example to compute efficiently the gcd of multivariate polynomials. It is known to work to compute Groebner basis over $\Q$, but it does not seem to be popular among CAS implementers. In this paper, I will show how to check a candidate Groebner basis (obtained by reconstruction of several Groebner basis modulo distinct prime numbers) with a given error probability, that may be 0 if a certified Groebner basis is desired. This algorithm is now the default algorithm used by the Giac/Xcas computer algebra system with competitive timings, thanks to a trick that can accelerate computing Groebner basis modulo a prime once the computation has been done modulo another prime.

研究の動機と目的

• コンピュータ代数システムにおけるℚ上でのグレブナー基底計算のモジュラー手法の広範な採用が、理論的利点にもかかわらず遅れているという問題に対処すること。
• 再構成されたグレブナー基底の検証における計算ボトルネックを、ユーザーが誤差確率を制御可能な高速な確率的検証手法を導入することで軽減すること。
• 過去のモジュラー計算から得た情報を再利用する学習技術を用いて、異なる素数を法とするグレブナー基底計算の効率を向上させること。
• Giac/Xcas に実装された実用的でオープンソースの実装を提供し、オープンソースおよび商用システムと同等の性能を達成すること。
• 確率的結果による高速な仮説生成と、決定的検証による数学的保証の両方を可能にすること。

提案手法

• 複数の異なる素数を法とするグレブナー基底の計算結果を中国剰余定理を用いてℚ上での候補基底に再構成する。
• ファレイ再構成を用いて、モジュラー結果から有理数係数を回復させ、安定性と正しさを保証する。
• 複数の素数を法とするゼロへの還元を検証する確率的チェック手順を用い、誤差確率をεで制限する。
• 複数の素数と係数の上限を用いた商再構成により、ℚ上でのゼロへの還元を検証する決定的チェック手法を実装する。
• 過去の素数からの重要ペア情報の再利用により、モジュラー・グレブナー基底計算の高速化を図る「学習」技術を活用し、重複作業を削減する。
• 並列処理と誤差許容度の設定が可能なサポートを備えたGiac/Xcasにアルゴリズムを統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℚ上でのグレブナー基底計算のモジュラー手法が、実世界のオープンソースコンピュータ代数システムでの実用的かつ効率的な利用が可能になるか。
• RQ2 検証ステップ（しばしばボトルネックとなる）を正しさを損なわずに高速化できるか、特に数学的認証を目的とした場合に。
• RQ3 過去のモジュラー計算から得た学習が、F5風の手法と比較して、グレブナー基底アルゴリズムにおける重複作業をどの程度削減できるか。
• RQ4 Cyclic や Katsura といった標準ベンチマークにおいて、このモジュラー手法が Magma、Maple、Singular といった最先端の実装と比較してどの程度の性能を示すか。
• RQ5 高速性と正しさの両立を図るハイブリッドな確率的・決定的フレームワークが、仮説生成と形式的証明の両方において効果的に機能するか。

主な発見

• Giac/Xcas に実装された決定的モジュラーアルゴリズムは、Cyclic および Katsura ベンチマークでSingularを上回り、これらの対称的システムにおいて優れた効率性を示した。
• Cyclic9 において、378個の29ビット素数を必要とし、1プロセッサ（5GB RAM）で1.3日、6プロセッサ（16GB RAM）で8.5時間の計算時間を要した。基底サイズは約1.4GB、係数は約1600桁であった。
• 確率的アルゴリズムは、シングルコア環境ではMapleと同等の性能を示し、Magma よりも約3〜4倍遅いが、マルチコア環境では並列化の優位性によりMagmaを上回る可能性がある。
• メモリ使用量はℚ上での最終基底サイズの約2倍であり、他のアルゴリズムと比較して顕著に少ないため、非常にメモリ効率が良い。
• 学習技術により、重複する重要ペアの計算が削減され、Cyclic や Katsura のような対称的システムでは多くのペアがゼロに還元されるため、特に性能向上が顕著である。
• 実装コードは約1万行であり、Fgb のような高度に最適化された20万行のシステムに比べて大幅に少ないため、保守性が高く、統合が容易であると示唆される。