[論文レビュー] A Probabilistic Approach to Nonparametric Local Volatility

Martin Tegnér, Stephen Roberts|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2019

Forecasting Techniques and Applications被引用数 1

ひとこと要約

本論文は、ガウス過程を用いてローカル・ボラティリティ表面に対する確率的推論を可能にする非パrametricベイジアンアプローチを提案する。ローカル・ボラティリティをガウス過程事前分布を持つ確率的関数として扱うことで、不確実性の定量化、過剰適合の回避、および将来のボラティリティ表面に対する予測分布の提供が可能となり、S&P 500データを用いた実験で1週間先の予測において優れた性能を示した。

ABSTRACT

The local volatility model is a widely used for pricing and hedging financial derivatives. While its main appeal is its capability of reproducing any given surface of observed option prices---it provides a perfect fit---the essential component is a latent function which can be uniquely determined only in the limit of infinite data. To (re)construct this function, numerous calibration methods have been suggested involving steps of interpolation and extrapolation, most often of parametric form and with point-estimate representations. We look at the calibration problem in a probabilistic framework with a nonparametric approach based on a Gaussian process prior. This immediately gives a way of encoding prior beliefs about the local volatility function and a hypothesis model which is highly flexible yet not prone to over-fitting. Besides providing a method for calibrating a (range of) point-estimate(s), we draw posterior inference from the distribution over local volatility. This leads to a better understanding of uncertainty associated with the calibration in particular, and with the model in general. Further, we infer dynamical properties of local volatility by augmenting the hypothesis space with a time dimension. Ideally, this provides predictive distributions not only locally, but also for entire surfaces forward in time. We apply our approach to S&P 500 market data.

研究の動機と目的

• 有限で離散的な市場データからのローカル・ボラティリティの不適切に定式化されたキャリブレーション問題に対処するため、整合的な確率的フレームワークを導入すること。
• ガウス過程事前分布を用いて、滑らかさや構造に関する事前信念をローカル・ボラティリティに組み込むこと。
• オプション価格やインプライド・ボラティリティなどの導関数を含む、ローカル・ボラティリティ推定値の不確実性の定量化を可能にすること。
• 時間に依存するダイナミクスへの拡張を図り、将来的なローカル・ボラティリティおよびインプライド・ボラティリティ表面の予測分布を提供すること。
• 実際のS&P 500オプションデータを用いて、前向き予測およびVIXインデックスのモデリングを含め、手法の実用的有用性を実証すること。

提案手法

• ローカル・ボラティリティを（時間、ストライク）入力空間上のガウス過程事前分布としてモデル化し、非パラメトリック関数学習を可能にする。
• 二乗価格誤差を尤度関数として使用し、標準的なキャリブレーション目的をベイジアン尤度に直接結びつける。
• マルコフ連鎖モンテカルロ法または変分推論を用いて事後分布推論を実施し、ローカル・ボラティリティ関数の分布を取得する。
• 時間の次元を入力に組み込むことで、時間的変化をモデル化し、将来のボラティリティ表面に対する予測分布を可能にする。
• 効率的なGP推論アルゴリズムを活用し、複数の時間点にわたる逐次的事後更新を含む、実市場データへのスケーラビリティを確保する。
• 重み付きまたは絶対誤差尤度など、市場データのノイズ構造に適応可能な柔軟な尤度を許容する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限な市場データにおいて、過剰適合を回避し、不確実性を定量化する形でローカル・ボラティリティをどのように推定できるか？
• RQ2 従来のパラメトリックまたは補間ベースの手法と比較して、非パラメトリックで確率的フレームワークはキャリブレーションのロバスト性を向上させられるか？
• RQ3 モデルは1週間先のローカル・ボラティリティおよびインプライド・ボラティリティ表面をどれほど正確に予測できるか？また、予測不確実性は実際の誤差とどのように比較されるか？
• RQ4 逐次的に事後分布を更新することで、ローカル・ボラティリティの時間的依存性をモデルが捉えることができるか？
• RQ5 このフレームワークは、VIXインデックスやその他のボラティリティデリバティブの予測にどのように拡張できるか？

主な発見

• ガウス過程事前分布により、滑らかさやローカル・ボラティリティに関する事前信念が的確に表現され、過剰適合を回避する安定的かつ非振動的な再構築が達成された。
• 事後推論により、ローカル・ボラティリティ関数の分布が得られ、モデル出力およびその導関数における不確実性の定量化が可能になった。
• 1週間先の予測におけるボラティリティ表面の予測性能は、インサンプルキャリブレーション誤差と同等の水準に達し、強力な予測能力を示した。
• インプライド・ボラティリティおよびVIXインデックスの前向き予測は、現実的なリスク伝播を反映した意味のある不確実性推定とともに生成された。
• 階層的推論を通じて自然にモデル選択が可能となり、恣意的な正則化やハイパーパrameterチューニングを回避できた。
• GPが事前分布による正則化と不確実性のマージナライゼーションを活用するため、ノイズが多いまたはスパarsなデータに対してもロバストであることが示された。