[論文レビュー] A probabilistic argument for the controllability of conservative systems

Martin Hairer|ArXiv.org|Jun 24, 2005

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、保存量が適切な関数であると仮定した場合、発散なしの系にHörmanderの条件を満たす保存量が存在する場合、確率的証明を用いて制御可能性が示される。主な貢献は、Hörmanderの条件と、関連する拡散過程に対して全位相的台を持つ不変測度の存在が、制御可能性を示すことに寄与することを示したことにある。

ABSTRACT

We consider controllability for divergence-free systems that have a conserved quantity and satisfy a Hörmander condition. It is shown that such systems are controllable, provided that the conserved quantity is a proper function. The proof of the result combines analytic tools with probabilistic arguments. While this statement is well-known in geometric control theory, the probabilistic proof given in this note seems to be new. We show that controllability follows from Hörmander's condition, together with the a priori knowledge of an invariant measure with full topological support for a diffusion that `implements' the control system. Examples are given that illustrate the relevance of the assumptions required for the result to hold. Applications of the result to ergodicity questions for systems arising from non-equilibrium statistical mechanics and to the controllability of Galerkin approximations to the Euler equations are also given.

研究の動機と目的

• 発散なしのベクトル場に従う保存系の制御可能性を確立すること。
• 既に幾何的制御理論の結果が得られている場合に、新たな確率的証明を提供すること。
• 全位相的台を持つ不変測度が制御可能性に与える役割を明確にすること。
• 非平衡統計力学の系およびEuler方程式のGalerkin近似にこの結果を適用可能であることを示すこと。

提案手法

• 関連する拡散過程の擬微分作用素の擬微分作用素の性質を保証するため、ベクトル場が生成するリー代数におけるHörmanderの条件を用いる。
• 拡散過程に対して全位相的台を持つ不変測度の存在を、主要な事前仮定として採用する。
• 強いFeller性および不変性の性質を用いて、確率的手法により拡散過程の性質から制御可能性を導出する。
• 保存量が適切な関数であることにより、等高線集合がコンパクトであることが保証され、不変測度の存在を支援する。
• 系の構造に関する解析的議論と、拡散過程の確率的収束性を組み合わせる。
• 拡散過程が制御系を「実装」しているという事実に依拠し、制御理論的結論を確率的性質から導出可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 保存量が存在し、Hörmanderの条件を満たす保存系が、どのような条件下で制御可能となるか？
• RQ2 関連する制御系に付随する拡散過程に対して、全位相的台を持つ不変測度の存在が、その制御可能性にどのように影響を与えるか？
• RQ3 確率的手法は、幾何的制御理論における発散なし系の制御可能性について、新たな知見を提供できるか？
• RQ4 保存量の適切性（properness）が制御可能性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 この結果は、非平衡統計力学の系およびEuler方程式のGalerkin近似にどのように応用可能か？

主な発見

• 保存量が適切な関数であると仮定した場合、Hörmanderの条件を満たす保存系の制御可能性が確立された。
• 証明により、関連する拡散過程に対して全位相的台を持つ不変測度が存在し、Hörmanderの条件が満たされている場合、制御可能性が示されることが明らかになった。
• 確率的アプローチにより、幾何的制御理論における既知の結果について、新たな視点が提供され、同じ結論に至る別路線が得られた。
• この結果は、非平衡統計力学の系に適用可能であり、エルゴード性および混合性の性質を支持する。
• 3次元Euler方程式のGalerkin近似に対してもこの手法が適用可能であり、無限次元設定における制御可能性の証明に潜在的な応用が可能である。
• 本稿では、仮定（特に保存量の適切性）が結果が成り立つために必要不可欠であることを示す例が提示された。