[論文レビュー] A probabilistic max-plus numerical method for solving stochastic control problems

Akian, Marianne, Fodjo, Eric|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限集合値および連続値制御を併用する確率的制御問題に生じる完全非線形ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン方程式を解くための、新たな確率的max-plus数値的手法を提示する。McEneaneyのidempotent max-plus法とFahim, Touzi, Warinの確率的スキームを組み合わせることで、刈り込みなしに多項式時間計算量を達成し、高次元設定における価値関数の効率的計算を可能にした。二変数の不確実なボラティリティを伴うオプションプライシング問題において検証された。

ABSTRACT

We consider fully nonlinear Hamilton-Jacobi-Bellman equations associated to diffusion control problems involving a finite set-valued (or switching) control and possibly a continuum-valued control. We construct a lower complexity probabilistic numerical algorithm by combining the idempotent expansion properties obtained by McEneaney, Kaise and Han (2011) for solving such problems with a numerical probabilistic method such as the one proposed by Fahim, Touzi and Warin (2011) for solving some fully nonlinear parabolic partial differential equations. Numerical tests on a small example of pricing and hedging an option are presented.

研究の動機と目的

• 混合離散および連続制御を伴う確率的制御における完全非線形HJB方程式を解く低複雑性数値法の開発。
• 拡散行列に厳密な下界とハミルトニアンの正則性条件を要する従来の確率的手法の限界を克服すること。
• idempotent max-plus法とモンテカルロに基づく確率的スキームを統合し、多項式時間計算量を保証すること。
• 例えば不確かなボラティリティを伴うオプションプライシングのような高次元問題における価値関数の効率的計算を可能にすること。
• スイッチングボラティリティレジームを伴う基準となる二変数オプションプライシング問題への適用による検証。

提案手法

• 本手法は、McEneaneyらのidempotent max-plus法（価値関数を二次形式の上界として表現）と、後向きストキャスティック微分方程式に基づくFahim, Touzi, Warinの確率的スキームを組み合わせる。
• 後向き再帰における条件付き期待値を推定するために、少数の非制御確率過程のモンテカルロシミュレーションを用いる。
• 各時刻における価値関数は、制御ごとの上界として計算され、各項は二次形式として表現され、確率的サンプリングにより指数的増加を回避する。
• 期待値の線形性とmax-plus構造を活用することで、刈り込みなしに、時間ステップ数およびサンプルサイズに関して多項式時間計算量を保証する。
• 時刻Tにおける価値関数は、凹型二次形式の有限上界として近似され、カーブチュアがペイオフ関数の挙動に一致するように調整される。
• 本スキームは、二つの相関レベルを切り替える制御を伴う二資産オプションプライシング問題に適用された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合離散および連続制御を伴う完全非線形HJB方程式を解く確率的数値手法を設計可能か。その際、多項式時間計算量を維持できるか。
• RQ2 idempotent max-plus法と確率的スキームを統合することで、二次形式の数の指数的増加および刈り込みの必要性が解消されるか。
• RQ3 正定値行列による下界が存在しない拡散行列に対しても、本手法が対応可能か。これにより、先行する確率的手法の制限を克服できるか。
• RQ4 不確かなボラティリティを伴う高次元確率的制御問題（例えばオプションプライシング）において、本手法はどのように性能を発揮するか。
• RQ5 サンプリングパラメータの選択が、価値関数近似の精度および安定性に与える影響は何か。

主な発見

• 提案手法は、確率的サンプリング戦略のおかげで、刈り込みなしに時間ステップ数およびサンプルサイズに関して多項式時間計算量を達成した。
• 不確かなボラティリティを伴う二変数オプションプライシング問題において、本手法は[5]の結果と同等の性能を示し、価値関数は基準解とよく一致した。
• 単一の制御（ρ = -0.8 または 0.8）を用いた場合、t=0における誤差は、上界ノルムで0.157、ℓ¹ノルムで0.074であり、ξ₂=50、ξ₁∈[20,80]であった。
• Nₘ=2（二つの制御サンプル）の手法がNₘ=3およびNₘ=4を上回った。これは、独立した確率変数の上界を取ることでバイアスが生じる可能性があることを示唆している。
• 誤差ノルムは、標準の回帰ベース手法の報告値[7]と同等であったため、非標準的手法にもかかわらず、競争力のある精度を示した。
• 本手法は、従来のmax-plus手法では扱えなかった、大きな負のカーブチュアを持つ二次形式を用いて、非準凸型ペイオフ関数ψ(ξ) = (ξ₁−ξ₂−K₁)⁺−(ξ₁−ξ₂−K₂)⁺を効果的に近似できた。