[論文レビュー] A Probabilistic Perspective on Gaussian Filtering and Smoothing

Marc Peter Deisenroth, Henrik Ohlsson|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2010

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ガウスノイズを伴うフィルタリングおよびスムージングの統一的確率的フレームワークを提示し、すべての手法が、関連する関連確率分布のモーメントを計算する方法の違いに帰着することを示している。立方体カルマンスムージング（CKS）と、ガウス・モンテカルロ法に基づく新しいフィルタ／スムージング手法を導入し、非線形系において優れたロバスト性とモーメント保存性を示している。

ABSTRACT

We present a general probabilistic perspective on Gaussian filtering and smoothing. This allows us to show that common approaches to Gaussian filtering/smoothing can be distinguished solely by their methods of computing/approximating the means and covariances of joint probabilities. This implies that novel filters and smoothers can be derived straightforwardly by providing methods for computing these moments. Based on this insight, we derive the cubature Kalman smoother and propose a novel robust filtering and smoothing algorithm based on Gibbs sampling.

研究の動機と目的

• ガウスフィルタリングおよびスムージングの一般的な確率的視点を提供し、既存の手法を共通のフレームワークに統合すること。
• ガウスフィルタ／スムージングの差異が、すべての関連確率分布のモーメントを計算する方法の違いに起因することを特定すること。
• モーメント計算手法を指定することで、新しいフィルタリングおよびスムージング手法を直ちに導出可能にする仕組みを提供すること。
• 既知のノイズ共分散行列が不要な、ガウス・モンテカルロ法に基づく新しいフィルタリングおよびラウ・トゥング・ストリーゼル（RTS）スムージング手法を提案すること。
• 非線形系における精度、ロバスト性、およびモーメント保存性の観点から、提案手法の性能を評価すること。

提案手法

• ガウスフィルタリングおよびスムージングを、$p({\boldsymbol{\boldsymbol{x}}}_{t-1},{\boldsymbol{\boldsymbol{x}}}_{t}|{\boldsymbol{\boldsymbol{z}}}_{1:t-1})$ および $p({\boldsymbol{\boldsymbol{x}}}_{t},{\boldsymbol{\boldsymbol{z}}}_{t}|{\boldsymbol{\boldsymbol{z}}}_{1:t-1})$ の同時事後分布の近似として定式化する。
• 立方体則を用いて、これらの同時分布のモーメントを計算することで、立方体カルマンスムージング（CKS）を導出する。
• ガウス・モンテカルロ法に基づくフィルタおよびRTSスムージングを提案し、データから直接的に同時分布の平均および共分散を推定する。
• ガウス・モンテカルロ法を用いて、フル条件付き分布から反復的にサンプリングすることで、システム関数の微分可能性を仮定しないモーメント推定を可能にする。
• $p({\boldsymbol{\boldsymbol{x}}}_{t-1},{\boldsymbol{\boldsymbol{x}}}_{t},{\boldsymbol{\boldsymbol{z}}}_{t}|{\boldsymbol{\boldsymbol{z}}}_{1:t-1})$ を同時にサンプリングするアプローチを採用し、周辺分布間の整合性を向上させる。
• システムおよび測定モデルの関数評価のみに依存し、微分可能性や既知のノイズ行列の仮定を必要としない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウスフィルタリングおよびスムージングを、一つの統一的確率的フレームワークに統合する方法は何か？
• RQ2 関連確率分布のモーメント計算という観点から、異なるガウスフィルタおよびスムージング手法の相違点は何か？
• RQ3 新しいモーメント推定手法を指定することで、新たなロバストなフィルタリングおよびスムージング手法を導出可能か？
• RQ4 ガウス・モンテカルロ法に基づくアプローチは、非線形系におけるモーメント保存性および精度の観点で、従来のフィルタと比較してどのように異なるか？
• RQ5 状態と測定値を含む同時分布を用いることで、スムージングの整合性向上にどのような意味があるか？

主な発見

• 立方体カルマンスムージング（CKS）は、提案されたフレームワークの直接的応用として導出され、新たな高精度なスムージング手法を提供する。
• ガウス・モンテカルロ法に基づくフィルタ（Gibbs-filter）およびRTSスムージング（Gibbs-RTSS）は、モーメントを保存するため、非モーメント保存手法が引き起こす不整合なフィルタリングおよびスムージング分布を回避する。
• ガウス・モンテカルロ法に基づく手法では、$\mathbf{Q}$ および $\mathbf{R}$ のノイズ共分散行列の知識が不要であり、代わりにデータから推定可能である。
• 数値的評価では、ガウス・モンテカルロ法ベースのフィルタ／RTSスムージングが、最新のガウスフィルタおよびスムージング手法と同等の精度とロバスト性を示している。
• 不整合な同時分布近似に起因する周辺分布の相対的差異は $10^{-5}$ 未満であり、拡張された同時分布 $p({\boldsymbol{x}}_{t-1},{\boldsymbol{x}}_{t},{\boldsymbol{z}}_{t}|{\boldsymbol{z}}_{1:t-1})$ を用いることで高い整合性が達成されていることが示された。
• 提案されたサンプリングベースのアプローチは、パーティクルフィルタで一般的に見られる劣化問題を回避し、システム関数の微分可能性を仮定しない。