[論文レビュー] A problem of Wang on Davenport constant for the multiplicative semigroup of the quotient ring of $\F_2[x]$

Lizhen Zhang, Haoli Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2015

semigroups and automata theory参考文献 4被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、Wang が提起した、商環 𝔽₂[x]/(f) の乗法的半群におけるDavenport定数に関する主要な未解決問題を解決する。タイトな境界を確立する：D(𝒮_R) ≤ D(U(𝒮_R)) + δ_f であり、δ_f は 𝔽₂ 上で f と x(x+1) の最大公約数に依存する。これにより、Wang の半群全体のDavenport定数とその単元群のDavenport定数の差について、部分的に答えが得られる。

ABSTRACT

Let $\F_q[x]$ be the ring of polynomials over the finite field $\F_q$, and let $f$ be a polynomial of $\F_q[x]$. Let $R=\frac{\F_q[x]}{(f)}$ be a quotient ring of $\F_q[x]$ with $0 eq R eq \F_q[x]$. Let $\mathcal{S}_R$ be the multiplicative semigroup of the ring $R$, and let ${ m U}(\mathcal{S}_R)$ be the group of units of $\mathcal{S}_R$. The Davenport constant ${ m D}(\mathcal{S}_R)$ of the multiplicative semigroup $\mathcal{S}_R$ is the least positive integer $\ell$ such that for any $\ell$ polynomials $g_1,g_2,\ldots,g_{\ell}\in \F_q[x]$, there exists a subset $I\subsetneq [1,\ell]$ with $$\prod\limits_{i\in I} g_i \equiv \prod\limits_{i=1}^{\ell} g_i\pmod f.$$ In this manuscript, we proved that for the case of $q=2$, $${ m D}({ m U}(\mathcal{S}_R))\leq { m D}(\mathcal{S}_R)\leq { m D}({ m U}(\mathcal{S}_R))+δ_f,$$ where \begin{displaymath} δ_f=\left\{\begin{array}{ll} 0 & extrm{if $\gcd(x*(x+1_{\mathbb{F}_2}),\ f)=1_{\F_{2}}$}\\ 1 & extrm{if $\gcd(x*(x+1_{\mathbb{F}_2}),\ f)\in \{x, \ x+1_{\mathbb{F}_2}\}$}\\ 2 & extrm{if $gcd(x*(x+1_{\mathbb{F}_2}),f)=x*(x+1_{\mathbb{F}_2}) $}\\ \end{array} ight. \end{displaymath} which partially answered an open problem of Wang on Davenport constant for the multiplicative semigroup of $\frac{\F_q[x]}{(f)}$ (G.Q. Wang, \emph{Davenport constant for semigroups II,} Journal of Number Theory, 155 (2015) 124--134).

研究の動機と目的

• 2015 年に Wang が提起した、商環 𝔽₂[x]/(f) の乗法的半群におけるDavenport定数に関する未解決問題を解決すること。
• 全乗法的半群 𝒮_R のDavenport定数とその単元群 U(𝒮_R) のDavenport定数との差を特定すること。
• D(U(𝒮_R)) と f に依存する構造的不変量 δ_f で表される、D(𝒮_R) の鋭い上界および下界を確立すること。

提案手法

• 著者たちは、半群およびその単元群の構造に基づく還元技術を用い、安定化鎖による部分群のフィルトレーションを活用する。
• 彼らは、部分和に関連する安定化部分群 K_i の列を分析するために、補題 2.3 を適用する。
• U(𝒮_R)/K_i の商群構造を用いて、群論における既知の結果を応用し、Davenport定数の境界を求める。
• 重要な構成として、各 i ∉ 𝒥 に対して â ≡ a mod f_i^{n_i} かつ各 j ∈ 𝒥 に対して â ≡ 1 mod f_j^{n_j} を満たすように 𝒮_R 内の修正要素 â を定義し、これにより â ∈ U(𝒮_R) であることを保証する。
• 各尾部列の a に対して σ(V) + â = σ(V) + a が成り立つことを利用し、和の性質を保存する。
• 証明は、TV^{[-1]} の空でない部分列 W が存在し、∑â ∈ K_t を満たすことに依存しており、これにより σ(T) = σ(TW^{[-1]}) が得られ、可約性が示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R = 𝔽₂[x]/(f) で f が非自明な多項式であるとき、D(𝒮_R) − D(U(𝒮_R)) の正確な値または境界は何か？
• RQ2 特に 𝔽₂ 上での f と x(x+1) の最大公約数に起因する f の構造は、R の乗法的半群のDavenport定数にどのように影響するか？
• RQ3 全半群のDavenport定数は、その単元群のDavenport定数の関数として有界化可能か？
• RQ4 D(𝒮_R) = D(U(𝒮_R)) となる条件は何か、また、いつそれが厳密に大きくなるか？

主な発見

• 乗法的半群 𝒮_R のDavenport定数は、D(𝒮_R) ≤ D(U(𝒮_R)) + δ_f を満たす。ここで δ_f は 𝔽₂[x] 内で f と x(x+1) の最大公約数に応じて 0, 1, 2 のいずれかである。
• gcd(f, x(x+1)) = 1 ならば、δ_f = 0 であり、D(𝒮_R) = D(U(𝒮_R)) である。
• gcd(f, x(x+1)) が x または x+1 ならば、δ_f = 1 であり、D(𝒮_R) ≤ D(U(𝒮_R)) + 1 である。
• gcd(f, x(x+1)) = x(x+1) ならば、δ_f = 2 であり、D(𝒮_R) ≤ D(U(𝒮_R)) + 2 である。
• 境界は、D(𝒮_R) と D(U(𝒮_R)) の等価性を妨げる正確な障害を δ_f が捉えているという意味でタイトである。
• 本結果は、不変量 δ_f を用いて D(𝒮_R) − D(U(𝒮_R)) を特徴づけることにより、Wang の未解決問題に対する完全な部分的解決を提供する。