[論文レビュー] A product formula and combinatorial field theory

A. Horzela, Paweł Błasiak+3 more|ArXiv.org|Sep 22, 2004

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、形式的冪級数と微分作用素に基づく積公式を導入し、ボソン正規順序付け問題を解く。これにより、組合せ場理論の枠組みが可能となり、組合せ的数列の母関数と関連する二重指数的公式が導かれる。物理的ハミルトニアンとフェルミオンに類似した図式表現を用いて、M=1,2,3の場合の明示的母関数が提示され、高次相互作用に対して漸近的およびボレル和可能な級数が得られる。

ABSTRACT

We treat the problem of normally ordering expressions involving the standard boson operators a, a* where [a,a*]=1. We show that a simple product formula for formal power series - essentially an extension of the Taylor expansion - leads to a double exponential formula which enables a powerful graphical description of the generating functions of the combinatorial sequences associated with such functions - in essence, a combinatorial field theory. We apply these techniques to some examples related to specific physical Hamiltonians.

研究の動機と目的

• 形式的冪級数と微分作用素を用いたボソン的演算子の正規順序付けの体系的技法を確立すること。
• 正規順序付けとスターリング数やベル数などの組合せ的数列との深い関係を示すこと。
• フェルミオン図式に類似した、組合せ的場理論の図的・組合せ的アプローチを、量子場理論的計算に類似した形で開発すること。
• 多項式ハミルトニアンの指数関数の正規順序化に対する閉形式または漸近的母関数を提供すること、特にM=1,2,3の場合を対象とすること。
• ボレル法およびパデ近似法を用いて、量子場理論で生じる発散級数の和可能性を調査すること。

提案手法

• 中心的な手法は、微分作用素が指数母関数に作用する積公式に基づくもので、$ F(\lambda \frac{d}{dx}) g(x) \big|_{x=0} = \sum f_n g_n \frac{\lambda^n}{n!} $ であり、関数的および演算子的側面を結びつける。
• 恒等式 $ \mathcal{N}[F(\lambda \hat{w})] = F(\lambda \frac{d}{dx}) \mathcal{N}[e^{x\hat{w}}] \big|_{x=0} $ を適用し、母関数に対する微分作用素の操作によって正規順序化を実現する。
• 数列 $ \{f_n\} $ および $ \{g_n\} $ の指数母関数（egf）を用い、ハダマード積の構造が係数空間において点ごとの乗法に還元されることを活用する。
• 図式表現は、展開式の項を組合せ的対応（contraction）として解釈することで構築され、フェルミオン図式に類似した線が演算子の対応を表す。
• 高次相互作用（例：$ (a+a^\dagger)^3 $）に対しては、既知の低次指数関数の正規順序形（例：$ \mathcal{N}[e^{x\hat{w}^2}] $）をブロックとして用いる。
• このアプローチにより、 coherent 状態における行列要素の母関数が導出可能となり、特にM=3およびM=4の場合には発散するがボレル和可能な級数が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の形式的冪級数の積公式を、ボソン的演算子の正規順序関係を導出するためにどのように適応できるか。
• RQ2 指数関数的演算子 $ \exp(\lambda (a+a^\dagger)^M) $ の正規順序形の背後にある組合せ的構造は何か。
• RQ3 微分作用素の技法を用いて、演算子の正規順序化から体系的にフェルミオンに類似した図式的ルールを導出できるか。
• RQ4 正規順序化の生成関数 $ \mathcal{N}[\exp(\frac{1}{3!}\lambda(a+a^\dagger)^3)] $ の解析的構造は何か。また、その和可能性は保証されるか。
• RQ5 高次正規順序化で生じる発散級数は、アイルリ関数などの特殊関数とどのように関係するか。

主な発見

• M=1 の場合、正規順序化された $ \exp(\lambda a^\dagger a) $ の母関数は $ \exp(\lambda e^x - \lambda) $ であり、その係数はベル数で与えられる。
• M=2 の場合、母関数は $ \frac{1}{\sqrt{1-2\lambda^2}} \exp\left(\frac{2\lambda^2}{1-2\lambda^2}\right) $ であり、エルミート多項式と関連し、調和振動子に由来する。
• M=3 の場合、母関数は $ \frac{1}{\sqrt{1-\phi\lambda^3}} \exp\left(\phi^3 \frac{\lambda^3}{6} - \phi^4 \frac{\lambda^6}{8}\right) {}_2F_0\left(\frac{1}{6},\frac{5}{6}; -; \frac{3\lambda^6}{2(1-\phi\lambda^3)^3}\right) $ であり、$ \phi = \frac{1-\sqrt{1-4\lambda^3}}{\lambda^3} $ である。この関数は漸近的であり、アイルリ関数にボレル和可能である。
• M=4 の場合、母関数は発散するが、$ \sum_{n=0}^\infty \frac{h_{4n}(2)}{n!} \left(\frac{y\lambda^4}{48}\right)^n $ として表現可能であり、閉形式は未知である。一般化されたエルミート多項式と関連する。
• 行列要素 $ \langle 0| \mathcal{N}[\exp(\frac{y}{4!}(\lambda\hat{w})^4)] |0\rangle $ は $ \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infty \frac{\Gamma(2n+\frac{1}{2})}{n!} \left(\frac{4y\lambda^4}{4!}\right)^n $ に等しく、既知の超幾何関数形と一致する。
• 本手法は、組合せ的場理論の枠組みを高次相互作用へと一般化でき、Borel法およびパデ近似法を用いた和可能性を有する、体系的かつ図式的な正規順序指数関数のアプローチを提供する。