[論文レビュー] A proof of De Concini-Kac-Procesi conjecture I. Representations of quantum groups at roots of unity and q-W algebras

Alexey Sevastyanov|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、特異的横断的スライス S と q-W 代数を用いて、量子群 U_q(g) の奇数次の m 乗根における表現の次元が m^{1/2 codim S} で割り切れることを示すことにより、De Concini-Kac-Procesi の予想を証明する。ここで S は、単連結代数的群 G の対応する共轭類 O と交わる特別な横断的スライスである。この結果により、U_q(g)-加群と S に関連する q-W 代数の表現の間のカテゴリカル同値が確立される。

ABSTRACT

Let U_q(g) be the standard simply connected version of the Drinfeld-Jumbo quantum group at an odd m-th root of unity q. De Concini, Kac and Proicesi observed that isomorphism classes of irreducible representations of U_q(g) are parameterized by the conjugacy classes in the connected simply connected algebraic group G corresponding to the simple complex Lie algebra g. They also conjectured that the dimension of a representation corresponding to a conjugacy class O is divisible by m^{1/2 dim O}. We show that if O intersects one of special transversal slices S to the set of conjugacy classes in G defined in arXiv:0809.0205 then the dimension of every finite-dimensional irreducible representation of U_q(g) corresponding to O is divisible by m^{1/2 codim S}. In the second part of this paper arXiv:1403.4108 is shown that for every conjugacy class O in G one can find a transversal slice S such that O intersects S and dim O = codim S. This proves the De Concini-Kac-Procesi conjecture. Our result also implies an equivalence between a category of finite-dimensional U_q(g)-modules and a category of finite-dimensional representations of a q-W algebra which can be regarded as a truncation of the quantized algebra of regular functions on S.

研究の動機と目的

• 量子群 U_q(g) の根の単位における表現次元の可除性に関する De Concini-Kac-Procesi の予想を証明すること。
• 横断的スライスを介して、有限次元 U_q(g)-加群と q-W 代数の表現との間に関係を確立すること。
• G 内の任意の共轭類 O に対して、O が S と交わり、かつ dim O = codim S を満たす横断的スライス S が存在することを示すこと。
• O が S と交わるとき、O に対応する U_q(g) の既約表現の次元が m^{1/2 codim S} で割り切れるということを示すこと。
• U_q(g)-加群の有限次元表現の圏と、S に関連する q-W 代数の有限次元表現の圏との間のカテゴリカル同値を提供すること。ここで、同値は S 上の量子化された正則関数の代数の切断として解釈される。

提案手法

• arXiv:0809.0205 で構成された、単連結代数的群 G の共轭類への特別な横断的スライス S を用いる。
• G 内の共轭類 O 及びその横断的スライス S との交わりの幾何学を分析し、コディメンジョンと表現次元の関係を関連付ける。
• 奇数次の m 乗根における U_q(g) の表現論的技法を適用し、共轭類によってパrameter化された既約表現に焦点を当てる。
• 有限次元 U_q(g)-加群と S に関連する q-W 代数の有限次元表現との間のカテゴリカル同値を確立する。
• q-W 代数が S 上の量子化された正則関数の代数の切断として現れることを用い、幾何学的および代数的構造を結びつける。
• 根の単位における量子群の理論およびその表現論を用いて、スライスのコディメンジョンを通じて次元制約を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 U_q(g) の奇数次の m 乗根における有限次元既約表現の次元は、その表現に対応する共轭類 O に対して m^{1/2 dim O} で割り切れるか？
• RQ2 G 内の任意の共轭類 O に対して、dim O = codim S を満たす横断的スライス S が存在し、O と交わるか？
• RQ3 O が S と交わるとき、O に対応する U_q(g)-表現の次元は m^{1/2 codim S} で割り切れるか？
• RQ4 有限次元 U_q(g)-加群の圏と、q-W 代数の有限次元表現の圏との間の正確な関係は何か？
• RQ5 q-W 代数は、横断的スライス S 上の量子化された正則関数の代数とどのように関係しているか？

主な発見

• 共轭類 O が特別な横断的スライス S と交わる限り、U_q(g) の有限次元既約表現の次元は m^{1/2 codim S} で割り切れる。
• G 内の任意の共轭類 O に対して、O が S と交わりかつ dim O = codim S を満たす横断的スライス S が存在する。これは重要な幾何的条件を確認する。
• De Concini-Kac-Procesi の予想は完全に証明された：任意のこのような表現の次元は m^{1/2 dim O} で割り切れる。
• 有限次元 U_q(g)-加群の圏と、S に関連する q-W 代数の有限次元表現の圏との間のカテゴリカル同値が確立された。
• q-W 代数は、横断的スライス S 上の量子化された正則関数の代数の切断として実現され、幾何学と表現論を結びつける。
• この結果により、根の単位における量子群表現の次元の可除性現象に幾何的説明が与えられた。