[論文レビュー] A proof of hyperbolic van der Waerden conjecture : the right generalization is the ultimate simplification

Leonid Gurvits|ArXiv.org|Apr 19, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 20被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、実部条件の下で $n$-斉次 $P$-双曲的多項式の混合微分の鋭い下界を確立することで、双曲的ヴァン・ダール・ヴァーデン予想を証明する。これはヴァン・ダール・ヴァーデン予想とバパト予想を一般化する。証明は双曲的多項式の基本的性質に依拠し、新しい永続的不等式および判別式不等式を単一で洗練された導出により得る。

ABSTRACT

Consider a homogeneous polynomial $p(z_1,...,z_n)$ of degree $n$ in $n$ complex variables . Assume that this polynomial satisfies the property : \\ $|p(z_1,...,z_n)| \geq \prod_{1 \leq i \leq n} Re(z_i)$ on the domain $\{(z_1,...,z_n) : Re(z_i) \geq 0, 1 \leq i \leq n \}$ . \\ We prove that $|\frac{\partial^n}{\partial z_1...\partial z_n} p | \geq \frac{n!}{n^n}$ . Our proof is relatively short and self-contained (i.e. we only use basic properties of hyperbolic polynomials). As the van der Waerden conjecture for permanents, proved by D.I. Falikman and G.P. Egorychev, as well Bapat's conjecture for mixed discriminants, proved by the author, are particular cases of this result. We also prove so called "small rank" lower bound (in the permanents context it corresponds to sparse doubly-stochastic matrices, i.e. with small number of non-zero entries in each column). The later lower bound generalizes (with simpler proofs) recent lower bounds by A.Schrijver for the number of perfect matchings of $k$-regular bipartite graphs. We present some important algorithmic applications of the result, including a polynomial time deterministic algorithm approximating the permanent of $n imes n$ nonnegative entry-wise matrices within multiplicative factor $\frac{e^n}{n^m}$ for any fixed positive $m$ .

研究の動機と目的

• 実部条件の下で $n$-斉次 $P$-双曲的多項式の $n$ 階混合微分に対する鋭い下界を証明すること。
• 永続的に対するヴァン・ダール・ヴァーデン予想と混合判別式に対するバパト予想の証明を統一的かつ簡略化すること。
• スパースな二重確率的行列および低ランク混合判別式に対する「小さなランク」下界を確立すること。
• 混合微分を近似するための決定的多項式時間オракルアルゴリズムを構築し、より良い乗法的要因を得ること。
• 双曲的多項式の枠組みを組合せ論および最適化分野への応用に拡張すること。

提案手法

• 非負の象限を含む $e$-非負錐を持つ $(1,\dots,1)$-双曲的であるような斉次多項式として $P$-双曲的多項式を導入する。
• $p$-混合形式 $M_p(x_1,\dots,x_n)$ を $p(\sum \alpha_i x_i)$ の $n$ 階混合偏微分として定義し、極化公式に等価であることを示す。
• 混合微分の下界を評価するため、$Cap(\mathbf{X}) = \inf_{\alpha_i > 0, \prod \alpha_i = 1} P_{\mathbf{X}}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ を容量として用いる。
• 帰納法と双曲的多項式の性質を用いて、与えられた実部条件の下で主な不等式 $|\partial^n p / \partial z_1 \cdots \partial z_n| \geq n! / n^n$ を導出する。
• ランクに依存する境界 $((k-1)/k)^{(k-1)(n-k)}$ を用いて、低ランクケースに結果を一般化する。
• 容量枠組みと内点法の仕組みを組み合わせ、混合微分を近似する決定的多項式時間オラクルアルゴリズムを設計する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的多項式の自然な一般化を用いて、双曲的ヴァン・ダール・ヴァーデン予想を証明できるか？
• RQ2 混合微分に対する容量に基づく下界が、スパースまたは低ランクの設定に拡張可能か？
• RQ3 混合微分の近似において、より良い乗法的誤差を達成する決定的多項式時間オラクルアルゴリズムを構築できるか？
• RQ4 $P$-双曲的多項式の容量がその混合微分と関係しており、鋭い近似が可能か？
• RQ5 この手法は凸体の体積多項式へと拡張可能か？

主な発見

• $n$-斉次 $P$-双曲的多項式で、右半平面において $|p(z)| \geq \prod \text{Re}(z_i)$ を満たすものに対して、不等式 $|\partial^n p / \partial z_1 \cdots \partial z_n| \geq n! / n^n$ が確立された。
• 永続的に対するヴァン・ダール・ヴァーデン予想と混合判別式に対するバパト予想は、この結果の特別な場合であることが示された。
• 新しい「小さなランク」下界が導出された： $\text{Rank}(A_i) \leq k$ ならば、 $M(A_1,\dots,A_n) \geq \left(\frac{k-1}{k}\right)^{(k-1)(n-k)} \frac{k!}{k^k}$ が成り立つ。
• 各行に高々 $k$ 個の非ゼロ要素をもつ二重確率的行列 $A$ に対して、永続的不等式 $\text{Per}(A) \geq \left(\frac{k-1}{k}\right)^{(k-1)(n-k)} \frac{k!}{k^k}$ が成り立つ。
• $n$ 階混合微分を $e^n$ の要因内で近似できる決定的多項式時間オラクルアルゴリズムが構築された。任意の固定された $m$ に対して、 $e^n / n^m$ へ改善可能である。
• この手法により、スプリッカーによる $k$-正則二部グラフの結果を含む先行研究が洗練され、より明快で直接的な証明が得られた。