[論文レビュー] A proof of Reidemeister-Singer's theorem by Cerf's methods

François Laudenbach|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2012

Geometric and Algebraic Topology被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、CerfのMorse関数の1パrameter族に関する理論を用いて、Reidemeister-Singerの定理の新しい証明を提示する。Heegaard分解を3次元多様体上の順序付きMorse関数に翻訳し、Cerfの技術——特に「飲み込み尾」補題と一般的経路の変形——を適用することで、任意の2つのHeegaard分解が安定化後に同相であることを示している。ハンドルスライドとキャンセリングは、関数空間内の制御された経路変形によって実現される。

ABSTRACT

Heegaard splittings and Heegaard diagrams of a closed 3-manifold M are translated into the language of Morse functions with Morse-Smale pseudo-gradients defined on M. We make use in a very simple setting of techniques which Jean Cerf developed for solving a famous pseudo-isotopy problem. In passing, we show how to cancel the supernumerary local extrema in a generic path of functions when dim M>2. The main tool that we introduce is an elementary swallow tail lemma which could be useful elsewhere.

研究の動機と目的

• Cerf理論を用いた現代的で関数論的な方法により、Reidemeister-Singerの定理を証明すること。
• Heegaard分解やハンドルスライドといった位相的概念を、Morse関数と擬勾配の言語に翻訳すること。
• 閉じた3次元多様体上の任意の2つの順序付きMorse関数が、制御された誕生およびキャンセリングイベントを持つ一般的経路で接続されることを示すこと。
• Heegaard分解の安定化が、その経路に沿って指数1と2のキャンセリングペアの臨界点を追加することに対応することを確立すること。
• 次元>2における関数の一般的経路を単純化するための主要技術的道具として、基本的な「飲み込み尾」補題を導入し、適用すること。

提案手法

• 閉じた3次元多様体上での順序付きMorse関数としてHeegaard分解を表現し、指数1と2の臨界値を分けるレベル集合が分解面を定義する。
• 2つの順序付きMorse関数を結ぶ一般的関数の族を用意し、すべての関数のうち有限個を除いてはMorse関数であり、臨界点の変化が誕生またはキャンセリングイベントによって起こることを保証する。
• Cerfの理論を用いて、すべての非Morse点が立方型（ヘッセ行列の核次元1）となるように経路を変形し、飲み込み尾特異点が誕生およびキャンセリングイベントを示す。
• 経路の中間部のレベル集合に、指数1と2の臨界点のキャンセリングペアを追加し、コラール近傍を用いて誕生シリンダーの底を制御する。
• 飲み込み尾補題を用いて、飲み込み尾およびリップ特異点を変形によって除去し、余分な極小値を1つずつ減らす。
• Cerfの補題による次元>1における誕生事象の一意性を用いて、新たな複雑さを生じさせることなくキャンセリングを実行できることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CerfのMorse関数の1パrameter族に関する理論を用いて、Reidemeister-Singerの定理を再証明できるか？
• RQ2 Heegaard分解とハンドルスライドを、Morse関数およびその一般的経路の観点から体系的に表現できるか？
• RQ3 次元>2における関数の一般的経路の単純化において、飲み込み尾特異点およびそのキャンセリングは果たす役割は何か？
• RQ4 Heegaard分解の安定化を、関数の制御された経路に沿って指数1と2のキャンセリングペアの臨界点を追加することとして実現できるか？
• RQ5 Cerf理論の一般的経路変形技術を3次元多様体に適用することで、Morse理論的言語で同相性問題を解消できる範囲はどの程度か？

主な発見

• 閉じた3次元多様体上の任意の2つの順序付きMorse関数は、すべての非Morse点が立方型であり、誕生およびキャンセリングイベントが制御された区間で発生する一般的経路で接続可能である。
• そのような経路の中間関数のレベル集合（指数1と2の臨界値を分けるもの）は、初期関数と最終関数からのHeegaard分解の共通の安定化を定義する。
• 経路に沿って指数1と2のキャンセリングペアの臨界点を追加することは、Heegaard分解の安定化に対応し、そのペアは経路の制御された変形によって導入可能である。
• 飲み込み尾補題により、Cerf図における飲み込み尾およびリップ特異点を除去でき、経路を余分な極小値が1つ少ないものに変形できる。
• 変形後の最終経路は、元の経路よりも1つ少ない余分な極小値を持つため、安定化が制御された関数変形の系列によって達成可能であることが示された。
• 一般の場合を、同相およびスケーリングを用いて特殊ケース(H)に還元でき、初期および最終関数の極小値と極大値を一致させられるため、変形の議論の仮定を満たす。