[論文レビュー] A proof of the Andre-Oort conjecture for A_g

Jacob Tsimerman|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2015

Point processes and geometric inequalities参考文献 7被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、平均化されたColmez予想とMasser-Wüstholzの同種定理を用いて、CM点のガロア軌道に対する多項式的下界を確立することにより、主に極化されたアーベル多様体のモジュライ空間 $Γ_g$ におけるアンドレ＝オールト予想を証明する。主な結果は、CMアーベル多様体のモジュライ体の次数が、そのCM体の絶対判別式の正のべきとして少なくともその程度に成長することである。

ABSTRACT

We give a proof of the André-Oort conjecture for $\mathcal{A}_g$ - the moduli space of principally polarized abelian varieties. In particular, we show that a recently proven `averaged' version of the Colmez conjecture yields lower bounds for Galois orbits of CM points. The André-Oort conjecture then follows from previous work of Pila and the author.

研究の動機と目的

• 主に極化されたアーベル多様体のモジュライ空間 $Γ_g$ におけるCM点のガロア軌道に対する多項式的下界を確立すること。
• CMアーベル多様体のモジュライ体の次数が、そのCM体の絶対判別式に関して少なくとも多項式的に成長することを示すこと。
• これらの下界をピラの非可縮性戦略と先行研究と組み合わせることにより、$Γ_g$ におけるアンドレ＝オールト予想の完全な証明を完成させること。
• Faltings高さの制御に平均化されたColmez予想を活用して、CMアーベル多様体のFaltings高さを制御すること。
• CM点のガロア軌道の大きさが十分に大きく、任意の代数的部分多様体 $Γ_g$ 内の最大特殊部分多様体の有限性を示すこと。

提案手法

• Andreatta-Goren-Howard-Madapusi PeraおよびYuan-Zhangが最近発表した平均化されたColmez予想を用いて、CMアーベル多様体のFaltings高さに対する部分多項式的上界を導出する。
• Faltings高さとモジュライ体の次数に基づいて、同種するアーベル多様体間の同種写像の次数を制限するMasser-Wüstholzの定理を適用する。
• Faltings高さの上界とMasser-Wüstholzの同種定理の境界を組み合わせることで、有界次数の同種写像の数が多項式的に有界であることを示す。
• CMアーベル多様体 $A$ のモジュライ体の次数 $[\mathbb{Q}(A) : \mathbb{Q}]$ に対する下界を導出し、ある $\delta_g > 0$ に対して $|\mathrm{Disc}(E)|^{\delta_g}$ として少なくともその程度に成長することを示す。
• 構造 $\mathbb{R}_{\text{an,exp}}$ の非可縮性とPila-Wilkie定理を用いて、均一化写像のもとでの $V$ の前像内に半代数的集合を抽出する。
• 双曲的Ax-Lindemann定理を適用し、前像内に半代数的集合が存在することは、$V$ 内に特殊部分多様体が存在することを示唆することにより、証明を完了する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたリーマン予想を仮定せずに、$\mathcal{A}_g$ 内のCM点のガロア軌道に対して多項式的下界を確立することは可能か？
• RQ2 平均化されたColmez予想は、CMアーベル多様体のFaltings高さを制御するのに十分であり、算術的応用に役立つのか？
• RQ3 Masser-Wüstholzの同種定理と高さの境界を組み合わせることで、CMアーベル多様体のモジュライ体の次数に対する有効な下界を得られるか？
• RQ4 非可縮性とPila-Wilkie定理は、アンドレ＝オールト予想の文脈において、特殊部分多様体を検出するためにどの程度活用可能か？
• RQ5 解析的数論の仮定に依存せずに、解析的およびモデル理論的道具のみを用いて $\mathcal{A}_g$ におけるアンドレ＝オールト予想を証明することは可能か？

主な発見

• 任意の次数 $g$ のCM体 $E$ に対して、全自己準同型環が $\mathcal{O}_E$ であるCMアーベル多様体のモジュライ体の次数が、ある $\delta_g > 0$ に対して $|\mathrm{Disc}(E)|^{\delta_g}$ として少なくともその程度に成長することを示した。この $\delta_g$ はCM型に依存しない。
• 平均化されたColmez予想により、CMアーベル多様体のFaltings高さが $|\mathrm{Disc}(E)|$ に対して部分多項式的に成長することが示され、主張の根拠として十分である。
• Masser-Wüstholzの同種定理を用いることで、CMアーベル多様体間の有界次数の同種写像の数が多項式的に有界であることが示され、ガロア軌道が多項式的に成長することを強制する。
• 均一化写像のもとでの $V \subset \mathcal{A}_g$ の前像内に半代数的集合が存在することは、双曲的Ax-Lindemann定理により、$V$ 内に特殊部分多様体が存在することを示唆する。
• 上記の境界をピラの戦略と組み合わせることにより、一般化されたリーマン予想を仮定せず、$\mathcal{A}_g$ におけるアンドレ＝オールト予想が無条件で証明された。
• 同じ仮定の下で、$\mathcal{A}_g$ のシュミラ部分多様体を含む混合シュミラ多様体に対しても結果が拡張可能である。