[論文レビュー] A Proof of Tsygan's Formality Conjecture for an Arbitrary Smooth Manifold

Vasiliy Dolgushev|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 48被引用数 51

ひとこと要約

本論文は、滑らかな多様体上の滑らかな関数の代数のホッホシルドチェインに対して、ツィガーンの形式的予想を、ホッホシルドコホモロジーおよびホモロジー複体の明示的フェドソフ解体を構成することにより、KontsevichおよびShoikhetの形式的準同型写像（形式的冪級数代数に対して）を用いて証明する。主な結果は、ホッホシルドチェインに対して明示的に函手的である形式的準同型写像であり、これは等変量子化、量子代数のホッホシルドホモロジー、および変形量子化におけるトレースの応用を可能にする。

ABSTRACT

Proofs of Tsygan's formality conjectures for chains would unlock important algebraic tools which might lead to new generalizations of the Atiyah-Patodi-Singer index theorem and the Riemann-Roch-Hirzebruch theorem. Despite this pivotal role in the traditional investigations and the efforts of various people the most general version of Tsygan's formality conjecture has not yet been proven. In my thesis I propose Fedosov resolutions for the Hochschild cohomological and homological complexes of the algebra of functions on an arbitrary smooth manifold. Using these resolutions together with Kontsevich's formality quasi-isomorphism for Hochschild cochains of R[[y_1, >..., y_d]] and Shoikhet's formality quasi-isomorphism for Hochschild chains of R[[y_1,..., y_d]] I prove Tsygan's formality conjecture for Hochschild chains of the algebra of functions on an arbitrary smooth manifold. The construction of the formality quasi-isomorphism for Hochschild chains is manifestly functorial for isomorphisms of the pairs (M, abla), where M is the manifold and abla is an affine connection on the tangent bundle. In my thesis I apply these results to equivariant quantization, computation of Hochschild homology of quantum algebras and description of traces in deformation quantization.

研究の動機と目的

• 任意の滑らかな多様体上の滑らかな関数の代数のホッホシルドチェインに対して、ツィガーンの形式的予想を証明すること。
• 多様体 M とアフィン接続 ∇ の対 (M, ∇) の同型を尊重するホッホシルドチェインの函手的である形式的準同型写像を構成すること。
• 結果を変形量子化の問題に応用し、等変量子化および量子代数上のトレースの記述を行うこと。
• ポisson多様体上の量子代数の形式的定理を一般化し、複素および正則設定へ拡張すること。
• 今後のサイクル的形式的、相対的形式的、および変形量子化による量子還元に関する研究の基盤を提供すること。

提案手法

• 滑らかな多様体上の滑らかな関数の代数のホッホシルドコホモロジーおよびホモロジー複体のフェドソフ解体を構成する。
• Kontsevichの形式的準同型写像（R[[y¹,…,yᵈ]]のホッホシルドチェインに対して）およびShoikhetの形式的準同型写像（同様の代数のホッホシルドチェインに対して）を適用する。
• [13]および[19]のグローバライゼーション技術を用いて、形式的近傍における局所形式的を、多様体全体にわたるグローバル形式的へ拡張する。
• 対 (M, ∇) の同型を尊重するホッホシルドチェインの函手的である形式的準同型写像を確立し、幾何的自然性を保証する。
• 得られた形式的準同型写像を用いて、等変量子化、量子代数のホッホシルドホモロジー、および変形量子化におけるトレースに関する結果を導出する。
• 構成を複素多様体およびリー層代数へ拡張し、正則設定におけるツィガーンの形式的予想のバージョンを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の滑らかな多様体上の滑らかな関数の代数に対して、ツィガーンのホッホシルドチェインの形式的予想は証明可能か？
• RQ2 多様体にアフィン接続が与えられた対 (M, ∇) の同型を尊重する、ホッホシルドチェインの函手的構成による形式的準同型写像は存在するか？
• RQ3 ホッホシルドチェインの形式的定理を、ポアソン多様体に付随する量子代数のホッホシルドホモロジーを計算するためにどのように応用できるか？
• RQ4 形式的定理を複素または正則多様体へ拡張可能か？その変形量子化への影響は何か？
• RQ5 この形式的定理は、量子還元およびポアソンオルビフォールド上の星積の分類にどのような影響を及えるか？

主な発見

• 本論文は、任意の滑らかな多様体上の滑らかな関数の代数のホッホシルドチェインに対してツィガーンの形式的予想を証明し、長年の未解決問題を解決する。
• 明示的に函手的であるホッホシルドチェインの形式的準同型写像が構成され、対 (M, ∇) の同型を尊重し、幾何的整合性を保証する。
• 結果により、有限群作用と G-不変ポアソン構造を持つ多様体上の G-不変星積の分類（同値関係による）が可能になる。
• 形式的定理は、X. Tangが用いた、適切なエタールリー群多様体の形式的シンプレクティック変形のホッホシルドホモロジーの計算に応用される。
• 構成は複素多様体へ一般化され、正則設定におけるツィガーンの形式的予想のバージョンが証明され、先行研究が拡張される。
• この結果は、量子還元および変形量子化における特性類の研究のための基盤を提供する。