[論文レビュー] A proof that a word of length n has less than 1.5n distinct squares

Adrien Thierry|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2020

semigroups and automata theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、同じ位置で終わる二つの平方（FSダブルスクエア）の組み合わせを精緻に分析することで、長さ $ n $ の語に $ 1.5n $ より少ない異なる平方が含まれることを証明している。$ \alpha $, $ \beta $, $ \epsilon $, $ \eta $-メイトという構造的関係を導入・分析し、中断のコアを用いた均等化された数え上げ法を適用することで、$ \frac{3}{2}n $ のタイトな上限を確立した。これは、長年の予想である「異なる平方の最大数は $ n $ より小さい」という仮説を前進させるものである。

ABSTRACT

We are interested in the maximal number of distinct squares in a word. This problem was introduced by Fraenkel and Simpson, who presented a bound of 2n for a word of length n, and conjectured that the bound was less than n. Being that the problem is on repetitions, their solution relies on Fine and Wilf's Periodicity lemma. Ilie then refined their result and presented a bound of 2n-O(log n). Lam used an induction to get a bound of 95n/48. Deza, Franek and Thierry achieved a bound of 11n/6 through a combinatorial approach. Using the properties of the core of the interrupt, presented by Thierry, we refined here the combinatorial structures exhibited by Deza, Franek and Thierry to offer a bound of 3n/2.

研究の動機と目的

• 長さ $ n $ の語における異なるスクエアの数に対するよりタイトな上界を確立すること。
• FraenkelとSimpsonが提起した長年の予想である「異なるスクエアの数は $ n $ より小さい」という仮説を、$ \frac{3}{2}n $ の境界を証明することで解決すること。
• 同じ位置で終わるスクエアのペア（FSダブルスクエア）の構造的制約を、組み合わせ的ツールとメイト分類を用いて分析すること。
• 中断のコアを用いて $ \epsilon $-メイトを再定義・均等化することで、帰納法の根拠を強化すること。
• FSダブルスクエア間の関係を完全かつ包括的に分類し、境界がタイトでかつ一般化可能であることを保証すること。

提案手法

• 同じ位置で終わる二つの異なるスクエア（FSダブルスクエア）の概念を用いて、語内のスクエア多重度を分析する。
• 重なり合うスクエアペアの数を分類・制限するために、4種類のメイト（$ \alpha $, $ \beta $, $ \epsilon $, $ \eta $）を導入する。
• FineとWilfの周期性補題およびCrochemoreとRytterの三つのスクエア補題を、周期性の推論の基盤として用いる。
• 中断のコアに基づく均等化された数え上げ戦略を採用し、従来の反転因子に代えて $ \epsilon $-メイトの制御をより良くする。
• 語の末尾 $ u $ と $ v $ のみに依存する再帰的帰納法を構築し、それらのギャップに依存しないことで、タイトな境界を維持する。
• $ \beta $-メイトの構造的制約を用いて $ \epsilon $-メイトの数を制限し、スクエア多重度のよりタイトな制御を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長さ $ n $ の語に現れる異なるスクエアの最大数は何か？
• RQ2 これまでの $ 2n $ よりも良い境界を得ることは可能か？ もしそうなら、どの程度改善できるか？
• RQ3 特にメイト関係を含む、FSダブルスクエアの構造的性質が、異なるスクエア総数にどのように制約を加えるか？
• RQ4 中断のコアを用いた $ \epsilon $-メイトの均等化は、従来の手法よりもタイトな境界を導くことができるか？
• RQ5 長さ $ n $ の語において異なるスクエアの数が $ n $ より小さいという予想は、$ \frac{3}{2}n $ に近い境界によって裏付けられるか？

主な発見

• この論文は、長さ $ n $ の語に $ \frac{3}{2}n $ より少ない異なるスクエアが含まれることを証明し、新たな上界を確立した。
• この境界は、FSダブルスクエアの数が $ \frac{n}{2} $ より少ないことを示すことで直接的に導かれる。
• $ \epsilon $-メイトの分析と中断のコアを用いた均等化により、帰納法が語のギャップではなく末尾にのみ依存するようになった。
• $ \beta $-メイトの存在は、可能な $ \epsilon $-メイトの数を制限し、スクエア多重度のより良い制御を可能にする。
• $ \alpha $, $ \beta $, $ \epsilon $, $ \eta $-メイトの分類は、重なり合うスクエアペアを分析する完全かつ包括的なフレームワークを提供する。
• 従来の $ \frac{11}{6}n $（Deza, Franek, Thierry）および $ \frac{95}{48}n $（Lam）の境界を上回り、$ \frac{3}{2}n $ を達成した。