[論文レビュー] A pseudocompactification

M. R. Koushesh|arXiv (Cornell University)|May 29, 2012

Rings, Modules, and Algebras参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、局所擬コンパactなティコノフ空間 X に対して、Stone-Čechコンパクト化 βX の部分集合 βX∖υX の閉包をとることで得られる新しい擬コンパクト化 ζX を導入する。ここで υX はヘイティッヒの実コンパクト化である。主な結果として、余りがコンパクトであるようなすべての拡張の中で、標準的順序 ≤ に関して ζX が最大の擬コンパクト化であることが示され、z-極大フィルターと零集合の共通部分集合を用いた特徴づけがなされる。

ABSTRACT

For a locally pseudocompact space $X$ let [ζX=X\cup cl_{βX}(βX\backslash\upsilon X).] It is proved that $ζX$ is the largest (with respect to the standard partial order $\leq$) among all pseudocompactifications of $X$ which have compact remainder. Other characterizations of $ζX$ are also given.

研究の動機と目的

• 局所擬コンパクトなティコノフ空間 X に対して新しい擬コンパクト化 ζX を定義し、その性質を調べること。
• 標準的順序 ≤ に関して、余りがコンパクトであるようなすべての拡張の中で ζX が最大の擬コンパクト化であることを確立すること。
• z-極大フィルターと零集合の共通部分集合を用いて、ζX の内部的および外部的特徴づけを提供すること。
• Aull–Sawyer による αX に関する先行結果を、より広い局所擬コンパクト空間のクラスへと一般化すること。
• 擬コンパクト性、実コンパクト性、およびコンパクト化における余りの構造との関係を明確にすること。

提案手法

• βX における βX∖υX の閉包を用いて、ζX を βX の部分空間 X ∪ clβX(βX ∖ υX) として定義する。これにより、Stone-Čechコンパクト化とヘイティッヒの実コンパクト化を統合的に利用する。
• Hager–Johnson の補題と、擬コンパクト閉包を持つ cozero-集合の性質を用いて、intβX υX が、clX C が擬コンパクトであるような C ∈ Coz(X) に対する ExX C の和集合として特徴づけられることを示す。
• clβX Z ⊆ intβX υX であることと、Z が擬コンパクト閉包を持つ cozero-集合に含まれることとは同値であることを確立する。
• 拡張における部分順序 ≤ を用いて、余りがコンパクトであるような X の任意の擬コンパクト化 Y に対して Y ≤ ζX が成り立つことを示す。
• βX 内での z-極大フィルターの表現を用いて、ζX が自由 z-極大フィルターに関する特定の極限集合と不交性条件を満たす唯一の拡張であることを示す。
• ζX が条件 (⋆) を満たすことを証明する：S ∩ Z ⊆ C を満たす任意の S, Z ∈ Z(X) に対して、C ∈ Coz(X) で clX C が擬コンパクトであるようなものについて、clY S ∩ clY Z ⊆ X が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所擬コンパクト空間 X の中で、余りがコンパクトである最大の擬コンパクト化は何か？
• RQ2 ζX は X 内の z-極大フィルターをどのように特徴づけられるか？
• RQ3 ζX が αX、βX、または X と一致するのはどのような条件下か？
• RQ4 余りがコンパクトであるような X の擬コンパクト化 Y が Y ≤ ζX を満たすために必要な位相的条件は何か？
• RQ5 βX ∖ υX の構造は、X の擬コンパクト化の余りとどのように関係しているか？

主な発見

• X が局所擬コンパクトであるとき、余りがコンパクトであるようなすべての擬コンパクト化の中で、ζX は標準的順序 ≤ に関して最大のものである。
• ζX = X であることと、X が擬コンパクトであることとは同値である。
• ζX = βX であることと、X の cozero-集合で閉包が擬コンパクトであるようなものの中に、X の非コンパクトな零集合を含むものが存在しないこととは同値である。
• ζX = αX であることと、υX ∖ X ⊆ intβX υX であること、あるいは同値に、X の自由 z-極大フィルターで可算交差性を持つものがすべて ζX においても自由であることは同値である。
• ζX は条件 (⋆) を満たす：S ∩ Z ⊆ C を満たす任意の S, Z ∈ Z(X) に対して、C ∈ Coz(X) で clX C が擬コンパクトであるようなものについて、clY S ∩ clY Z ⊆ X が成り立つ。
• 余りがコンパクトであるような X の任意の擬コンパクト化 Y は、Y = X ∪ E の形に書け、ここで E は X のあるコンパクト化 K に対して K ∖ X のコンパクト部分集合であり、E は φ[ζX ∖ X] を含む。これにより、すべてのこのような Y が ζX から得られることを示す。