[論文レビュー] A PTAS for Scheduling with Tree Assignment Restrictions

Ulrich M. Schwarz|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2010

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、根付き木の各ノードから根までのパスに沿ってのみ割り当て可能なジョブを含むツリー階層的割り当て制約付きスケジューリング問題に対する多項式時間近似スキーム（PTAS）を提示する。幾何的丸め、構成に基づく動的計画法、階層的下向き順処理を組み合わせることで、入力サイズに関して多項式的で、$1/\epsilon$に関して指数的である時間内に$(1+4\epsilon)$-近似が達成され、以前の$4/3$-近似を改善する。

ABSTRACT

Scheduling with assignment restrictions is an important special case of scheduling unrelated machines which has attracted much attention in the recent past. While a lower bound on approximability of 3/2 is known for its most general setting, subclasses of the problem admit polynomial-time approximation schemes. This note provides a PTAS for tree-like hierarchical structures, improving on a recent 4/3-approximation by Huo and Leung.

研究の動機と目的

• ツリー階層的割り当て制約付きスケジューリング問題における既知の$4/3$-近似と最適解との間のギャップを埋めること。
• 無作為マシンスケジューリングの割り当て制約付き特別ケースとして、多項式時間近似スキーム（PTAS）を開発すること。
• ネスト型および区間制約を超えて、PTASが存在する割り当て構造のクラスを拡張すること。
• NP困難であるにもかかわらず、ツリー階層的構造が任意の良い近似を許容することを示すこと。

提案手法

• すべての大きなジョブ（$\epsilon C$より大きいもの）を、$\epsilon C \cdot (1+\epsilon)^k$の形に丸めることで、異なるサイズの数を$O(\log_{1+\epsilon} 1/\epsilon)$に制限し、これは$\epsilon$にのみ依存する定数に減少する。
• 各ノードにおけるジョブ集合を、大きなジョブサイズの個数と、$\epsilon C$の倍数として丸め上げた小規模ジョブの合計サイズを含む構成タプルとして表現する。
• 木構造上で下向きの動的計画法を用い、各ノードが子ノードからの妥当な構成を集約し、自身のジョブ集合と組み合わせる。
• 各ノードにおいて、上位ノードに伝搬可能な妥当な構成の組み合わせを保持し、ノード上で部分構成をスケジューリングし、残りを上位に伝搬する選択肢を含める。
• 小規模ジョブは、$\epsilon C$の次の倍数まで空き容量を埋める貪欲な戦略で処理し、マシンごとに最大$\epsilon C$の超過を許容する。
• マキシマムスケジュール長$C$に対して二分探索を実行し、動的計画法手順を用いて妥当性を検証することで、$(1+4\epsilon)$-近似スケジュールを達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ツリー階層的割り当て制約付きスケジューリング問題に対して、PTASを設計可能か？ ここで各ジョブは木の根からリーフへのパス上のマシンにのみ割り当て可能である。
• RQ2 ツリー階層的構造は、フーとレイングが得た既存の$4/3$-近似よりも優れた近似保証を可能にするか？
• RQ3 この問題クラスに対して、NP困難であるにもかかわらず、任意の良い近似比を達成可能か？
• RQ4 境界付きジョブサイズ丸めを伴う階層的木構造に、構成に基づく動的計画法アプローチを適応可能か？

主な発見

• 本稿では、ツリー階層的割り当て制約付きスケジューリング問題に対するPTASを確立し、任意の$\epsilon > 0$に対して$(1+4\epsilon)$-近似を達成する。
• 実行時間は入力サイズに関して多項式的で、$1/\epsilon$に関して指数的であり、PTASの定義を満たす。
• 大きなジョブの幾何的丸めと木構造上の構成に基づく動的計画法を用いることで、妥当性と近似保証を維持する。
• 小規模ジョブは、$\epsilon C$の倍数単位で空き容量を埋める貪欲な戦略で処理され、マシンごとに最大$\epsilon C$の超過が生じるが、これは全体の近似要因内で制限される。
• マキシマムスケジュール長$C$が存在する場合、緩和された決定手続きにより、長さが$(1+4\epsilon)C$未満の妥当なスケジュールを正しく特定する。
• この結果は、フーとレイングによる以前の$4/3$-近似を改善し、ツリー階層的構造が任意の良い近似を許容することを示している。