[論文レビュー] A Purely Algebraic Proof of the Fundamental Theorem of Algebra

Piotr Błaszczyk|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2015

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、非主超フィルターを用いた超実数体の構成と、有界超実数の部分環およびその無限小イデアルの代数的性質を用いて、代数的証明により代数学の基本定理を提示する。連続性や解析的考察に依存せずに、実多項式に対する中間値の定理を確立し、結果としてFTAの完全な代数的証明を可能にする。

ABSTRACT

Proofs of the fundamental theorem of algebra can be divided up into three groups according to the techniques involved: proofs that rely on real or complex analysis, algebraic proofs, and topological proofs. Algebraic proofs make use of the fact that odd-degree real polynomials have real roots. This assumption, however, requires analytic methods, namely, the intermediate value theorem for real continuous functions. In this paper, we develop the idea of algebraic proof further towards a purely algebraic proof of the intermediate value theorem for real polynomials. In our proof, we neither use the notion of continuous function nor refer to any theorem of real and complex analysis. Instead, we apply techniques of modern algebra: we extend the field of real numbers to the non-Archimedean field of hyperreals via an ultraproduct construction and explore some relationships between the subring of limited hyperreals, its maximal ideal of infinitesimals, and real numbers.

研究の動機と目的

• 代数学的証明における解析的技法、特に中間値の定理への依存を排除すること。
• 非アルキメデス的体を活用して、中間値の定理に代わる代数的基盤を構築すること。
• 超実数体 ℝ* が実閉であること、および ℝ*(√−1) が代数的閉であることの、完全に代数的技法による証明。
• 奇数次実多項式の根の存在が、超積構成を用いて代数的に導けることの示唆。
• 位相的または解析的連続性の仮定を一切含まずに、FTAの新たな代数的証明のクラスを提供すること。

提案手法

• 非主超フィルターを用いて、実数の超積として超実数体 ℝ* を構成する。
• 有界超実数の部分環と、その最大イデアル（無限小）を定義し、局所環を形成する。
• 有界超実数から無限小イデアルを除いた商が ℝ に同型であることを用い、代数的構造を保存する。
• 実多項式 f(x) を、実多項式の列の同値類 [fₙ] を用いて超実数多項式 f として表現する。
• 超実数の設定において代数的中間値の定理を適用：ℝ* において f(a) < 0 かつ f(b) > 0 ならば、ある c ∈ (a,b) が存在して f(c) = 0 である。
• Łośの定理を用いて、超積から超実数への多項方程式の真理性を転送し、根の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実多項式に対する中間値の定理は、位相的連続性に依存せずに確立可能か？
• RQ2 奇数次実多項式の実根の存在は、純粋に代数的構造を用いて導けるか？
• RQ3 代数的順序体の性質にのみ依存して、代数学の基本定理を解析的または位相的道具を用いずに証明可能か？
• RQ4 超実数体 ℝ* が、純粋な代数的証明の基盤として機能できる、どのような代数的性質を持つのか？
• RQ5 ℝ* の超積構成が、実数列から超実数への根の存在の転送をどのように促進するか？

主な発見

• 超実数体 ℝ* は実閉である。つまり、ℝ* 上の任意の奇数次多項式は ℝ* 内に根を持つ。
• 体 ℝ*(√−1) は代数的閉である。これは、任意の非定数複素多項式が ℂ 内に根を持つことを意味し、代数学の基本定理の証明に繋がる。
• 連続性を仮定せず、超実数および超積の代数的性質のみを用いて、実多項式に対する中間値の定理を確立した。
• 任意の実多項式 f について、f(a) < 0 かつ f(b) > 0 ならば、超実数の根 c ∈ (a,b) が存在する。この c は、区間 (aₙ, bₙ) 上の fₙ の実根の超積 [cₙ] として構成される。
• fₙ(aₙ) < 0 かつ fₙ(bₙ) > 0 となる n の集合がcofinal（cofinal）である場合、超積 c = [(cₙ)] は ℝ* 内で f(c) = 0 を満たす。
• 結果として、ℝ*(√−1) の代数的閉性は、ℝ* の実閉性から導かれることが示され、FTA への完全な代数的ルートが提供された。