[論文レビュー] A q-analogue of Catalan Hankel determinants

Masao Ishikawa, Hiroyuki Tagawa+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、q-超幾何列 $\mu_n = \frac{(aq;q)_n}{(abq^2;q)_n}$ を用いて、Catalan のヘンケル行列式の q-類似を提示し、格子路の数え上げ、直交多項式、および基本超幾何級数を用いて、ヘンケル行列式 $\det(\mu_{i+j})_{0\leq i,j\leq n-1}$ の閉形式公式を確立する。主な結果は、q-Pochhammer記号と組合せ的重みを含む明示的な積公式を用いて、古典的なCatalan行列式の恒等式を q-設定に一般化する。

ABSTRACT

In this paper we shall survey the various methods of evaluating Hankel determinants and as an illustration we evaluate some Hankel determinants of a q-analogue of Catalan numbers. Here we consider $\frac{(aq;q)_{n}}{(abq^{2};q)_{n}}$ as a q-analogue of Catalan numbers $C_{n}=\frac1{n+1}\binom{2n}{n}$, which is known as the moments of the little q-Jacobi polynomials. We also give several proofs of this q-analogue, in which we use lattice paths, the orthogonal polynomials, or the basic hypergeometric series. We also consider a q-analogue of Schröder Hankel determinants, and give a new proof of Moztkin Hankel determinants using an addition formula for ${}_2F_{1}$.

研究の動機と目的

• 古典的なCatalanのヘンケル行列式の恒等式を、q-超幾何列を用いて q-類似に拡張すること。
• 格子路、直交多項式、および基本超幾何級数を用いて、同じ行列式恒等式の複数の証明を提供すること。
• 非負整数 $t$ に対して、シフトされたヘンケル行列式 $\det(\mu_{i+j+t})$ への一般化を試みること。
• q-類似のCatalan数と直交多項式、特にリトル q-Jacobi 多項式との関係を調査すること。
• 類似の手法を用いて、Schröder および Motzkin のヘンケル行列式の q-類似を確立すること。

提案手法

• リトル q-Jacobi 多項式のモーメントとして生じる、$\mu_n = \frac{(aq;q)_n}{(abq^2;q)_n}$ を用いて、Catalan 数の q-類似を定義する。
• Lindström-Gessel-Viennot の補題を用いて、重み付きステップを持つ非交差格子路を用いてヘンケル行列式を評価する。
• 直交多項式および連分数の理論を応用して、行列式の恒等式を導出する。
• 特に $_2\phi_1$ および $_2F_1$ を含む基本超幾何級数の恒等式を用いて、行列式の評価を証明する。
• Desnanot-Jacobi の随伴行列式定理を用いて、q-類似ヘンケル行列式の再帰的関係を導出する。
• $_2F_1$ の加法公式を用いて、Motzkin のヘンケル行列式の q-類似を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Catalan 数の古典的ヘンケル行列式 $\det(C_{i+j})$ の q-類似は何か？
• RQ2 q-類似 $\mu_n = \frac{(aq;q)_n}{(abq^2;q)_n}$ に対して、行列式 $\det(\mu_{i+j})$ はどのように閉形式で評価できるか？
• RQ3 組合せ的（格子路）、代数的（直交多項式）、超幾何的（基本級数）な証明が、同じ行列式恒等式において統合可能か？
• RQ4 シフトされたインデックス $\mu_{i+j+t}$ のヘンケル行列式の構造は何か？また、非シフトの場合に比べてどのように一般化されるか？
• RQ5 Schröder 数およびMotzkin 数の q-類似はヘンケル行列式とどのように関係し、類似の手法を用いてその行列式恒等式を導出可能か？

主な発見

• ヘンケル行列式 $\det(\mu_{i+j})_{0\leq i,j\leq n-1}$ は、$a^{n(n-1)/2} q^{n(n-1)(2n-1)/6} \prod_{k=1}^n \frac{(q,aq,bq;q)_{n-k}}{(abq^{n-k+1};q)_{n-k}(abq^2;q)_{2(n-k)}}$ に等しい。
• シフトされたインデックスに対しては、$\det(\mu_{i+j+t})_{0\leq i,j\leq n-1}$ は $\left(\frac{(aq;q)_t}{(abq^2;q)_t}\right)^n$ と追加の q-Pochhammer 項を含む積で表される。
• $_2F_1$ の加法公式を用いて、Motzkin のヘンケル行列式の q-類似が証明され、$\det(M_{i+j})$ の値は 1 に等しい。
• 大きな Schröder のヘンケル行列式 $\det(S_{i+j})$ は $2^{n(n-1)/2}$ に等しく、$\det(S_{i+j+1}) = 2^{n(n+1)/2}$ であり、$\det(S_{i+j+2})$ についても新しい公式が導出された。
• Delannoy 数のヘンケル行列式に関する予想された恒等式が提示された：$\det(D(i+j,i+j)) = 2^{\binom{n+1}{2} - 1}$ であり、より高いシフトに対しても同様の公式が得られた。
• 本稿では、行列式 $\det S^{(0)}_n(1)$ が再帰関係 $\det S^{(0)}_n(1) = 2^{n(n+1)/2} - (2n+3)2^{n(n-1)/2} - 2^{(n-1)n/2}$ を満たすことが確立され、既知の値と整合的である。