[論文レビュー] A q-analogue of the Drinfeld-Sokolov hierarchy of type A and q-Painleve system

Takao Suzuki|arXiv (Cornell University)|May 21, 2011

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、mn の分割 (n,…,n) に対して、型 A の Drinfeld-Sokolov 高速の q-類似体を導入し、q-Painlevé 系との関係を確立する。q-DS 高速に類似還元を適用することで、q-P_{(n,n)} と呼ばれる q-Painlevé 系が得られ、これは q-超幾何関数 ${}_n\phi_{n-1}$ で表される特別解を有する。これは q-Painlevé VI 方程式の一般化である。

ABSTRACT

In this article, we propose a q-analogue of the Drinfeld-Sokolov hierarchy of type A. We also discuss its relationship with the q-Painleve VI equation and the q-hypergeometric function.

研究の動機と目的

• mn の分割 (n,…,n) に対して、型 A の Drinfeld-Sokolov 高速の q-類似体を構成すること。
• q-DS 高速の類似還元を用いて、q-P_{(n,n)} と呼ばれる q-Painlevé 系を確立すること。
• q-P_{(n,n)} が q-超幾何関数 ${}_n\phi_{n-1}$ を用いて表される特別解を有することを示すこと。
• 本構成を用いて、q-Painlevé VI 方程式を高階の系へ一般化すること。

提案手法

• グレーディングパラメータ λ と q-シフト作用素 T_λ を用いて、mn×mn 行列 e_j, f_j, h_j を用いて q-DS 高速を定式化する。
• 行列値関数と q-差分作用素を含む Lax 方程式を用いて q-DS 高速を定義する。
• 分割 (n,n) に対応する類似還元を q-DS 高速に適用し、系 q-P_{(n,n)} を得る。
• 線形 q-差分系に対する q-Laplace 変換を用いて、q-P_{(2,2)} から q-Painlevé VI 方程式を導出する。
• 行列関数 A(z,t) と B(z,t) を用いて、特定の行列式および固有値条件を満たす q-P_{(n,n)} の Lax 対を構成する。
• 系を特殊化して、ベクトル x(t) に対する線形 q-差分方程式を導出し、${}_n\phi_{n-1}$ を用いた解を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 mn の分割 (n,…,n) に対して、型 A の Drinfeld-Sokolov 高速の q-類似体をどのように構成できるか。
• RQ2 q-DS 高速の類似還元によって得られる q-Painlevé 系 q-P_{(n,n)} の構造は何か。
• RQ3 q-Painlevé 系 q-P_{(n,n)} は、q-超幾何関数 ${}_n\phi_{n-1}$ を用いて表される解を有するか。
• RQ4 q-P_{(2,2)} 系は既知の q-Painlevé VI 方程式とどのように関係しているか。
• RQ5 q-Laplace 変換は、q-DS 高速から q-Painlevé VI 方程式を導出するために果たす役割は何か。

主な発見

• グレーディング付き行列 e_j, f_j, h_j と q-シフト作用素を用いて、mn の分割 (n,…,n) に対して q-DS 高速が構成された。
• 系 q-P_{(n,n)} は q-DS 高速の類似還元として得られ、q-Painlevé VI 方程式を一般化する。
• q-Painlevé VI 方程式 (1.1) は、線形 q-差分系に対する q-Laplace 変換を用いて q-P_{(2,2)} から回復された。
• 系 q-P_{(n,n)} は、q-超幾何関数 ${}_n\phi_{n-1}$ のベクトルとして表される特別解を有する。
• 解はパラメータ a_j, b_j で明示的に与えられ、q-Pochhammer 記号で定義される係数を有する t の形式的べき級数として表される。
• Lax 対は、A(z,t) を次数 2 の行列関数、B(z,t) を z と t に関して有理的依存性を有する行列関数として構成され、整合性条件を満たす。