[論文レビュー] A $q$-analogue of the type $A$ Dunkl operator and integral kernel

T. H. Baker, Peter J. Forrester|ArXiv.org|Jan 30, 1997

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、タイプAのDunkl作用素のqアナログを導入し、非対称マクドナルド多項式に単純に作用するq変形された上昇・下降作用素を構成する。また、これらの多項式の二重級数としてqアナログのDunkl積分核を定義し、古典的核が持つ基本的性質（対称性や微分差分方程式など）のqアナログが満たされることを証明する。

ABSTRACT

We introduce the $q$-analogue of the type $A$ Dunkl operators, which are a set of degree--lowering operators on the space of polynomials in $n$ variables. This allows the construction of raising/lowering operators with a simple action on non-symmetric Macdonald polynomials. A bilinear series of non-symmetric Macdonald polynomials is introduced as a $q$-analogue of the type $A$ Dunkl integral kernel ${\cal K}_A(x;y)$. The aforementioned operators are used to show that the function satisfies $q$-analogues of the fundamental properties of ${\cal K}_A(x;y)$.

研究の動機と目的

• 量子群および特殊関数の文脈において、タイプAのDunkl作用素のq変形を構築し、古典理論を拡張すること。
• 非対称マクドナルド多項式に単純に作用するq上昇作用素およびq下降作用素を構成すること。
• 非対称マクドナルド多項式の二重級数として、Dunkl積分核のqアナログを定義すること。
• 古典的核が満たしていた基本的性質（対称性、微分差分方程式など）のqアナログが、新しい核によって満たされることを確立すること。
• マクドナルド多項式理論および量子代数の文脈において、積分核のq変形された枠組みを提供すること。

提案手法

• n変数多項式上の次数低下作用素として、タイプAのDunkl作用素のqアナログを導入する。
• 非対称マクドナルド多項式に単純な固有値で作用するq上昇作用素およびq下降作用素を定義する。
• 非対称マクドナルド多項式の二重級数として、古典的Dunkl積分核のqアナログを構成する。
• q-Dunkl作用素を用いて、古典的核が満たす対称性および微分差分方程式のqアナログを導出する。
• q核が、古典的核の基本的性質（変数交換に対する不変性を含む）のq変形版を満たすことを示す。
• マクドナルド多項式の代数的構造およびqオシレーター代数を活用し、q核の関数的恒等式を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子群の文脈において、タイプAのDunkl作用素を、主要な代数的性質を保つqアナログに一般化する方法は何か？
• RQ2 非対称マクドナルド多項式の観点から、積分核のqアナログの構造はどのように記述できるか？
• RQ3 q上昇作用素およびq下降作用素は非対称マクドナルド多項式にどのように作用するのか？また、それらの代数的意義は何か？
• RQ4 新しいq核が満たす、古典的核の対称性および微分差分方程式のqアナログは何か？
• RQ5 q変形のもとで、古典的核が満たす基本的関数的恒等式（Dunkl作用素を含むもの）が、q核に対しても有効であることを示せるか？

主な発見

• タイプAのDunkl作用素のqアナログが、n変数多項式上の次数低下作用素として明確に定義された。
• q上昇作用素およびq下降作用素が、非対称マクドナルド多項式に明示的かつ単純な固有値で作用し、多項式基底の効率的取り扱いを可能にした。
• 積分核のqアナログが、非対称マクドナルド多項式の二重級数として構成され、古典的核をq設定に一般化した。
• q核は、変数xとyの交換に対して不変であるという、古典的核の対称性のqアナログを満たした。
• q核は、古典的核の運動方程式を一般化するq変形された微分差分方程式を満たした。
• 古典的核の関数的恒等式（Dunkl作用素を含むもの）が、新しい枠組みにおいて有効なqアナログを有することが示された。