[論文レビュー] A q-enumeration of alternating permutations

Matthieu Josuat-Vergès|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、置換および準順列における交差数を用いた交差に基づく q-数え上げを通じて、古典的オイラーおよびロゼルの恒等式を精緻化する。q正接数およびq正割数の閉形式式を、置換テーブルックスおよび重み付きモーツキン経路（ラゲール歴史）の2つの方法により導出し、qオイラー統計とq正接・q正割母関数の連分数展開との間の関係を確立する。

ABSTRACT

A classical result of Euler states that the tangent numbers are an alternating sum of Eulerian numbers. A dual result of Roselle states that the secant numbers can be obtained by a signed enumeration of derangements. We show that both identities can be refined with the following statistics: the number of crossings in permutations and derangements, and the number of patterns 31-2 in alternating permutations. Using previous results of Corteel, Rubey, Prellberg, and the author, we derive closed formulas for both q-tangent and q-secant numbers. There are two different methods to obtain these formulas: one with permutation tableaux and one with weighted Motzkin paths (Laguerre histories).

研究の動機と目的

• 古典的オイラーおよびロゼルの正接数および正割数に関する恒等式を、交差および弱超過統計のqアナログを用いて精緻化すること。
• q正接数およびq正割数と、置換および準順列における交差および弱超過統計との間の関係を確立すること。
• 組合せ的技法を用いてq正接数およびq正割数の閉形式式を導出すること。
• 証明のための2つの異なる組合せ的アプローチ（置換テーブルックスおよび重み付きモーツキン経路）を統一すること。

提案手法

• 本稿は、置換における交差の統計量、cr(σ)、および弱超過の統計量、wex(σ) を用い、対称群および準順列群上の符号付き和を精緻化する。
• q整数 [k]_q を用いたT分数として、q正接およびq正割母関数を連分数展開で表現するため、連分数の理論を適用する。
• 高さに依存する重みが付与された、重み付きDyck経路およびSchröder経路を構成する。これらのステップの重みは、高さに応じてqの累乗として割り当てられる。
• 基本超幾何級数 2φ1 およびヘインの変換を含む母関数を用いて、経路の和を評価する。
• 2通りの独立した証明が提供される：1つは置換テーブルックスを用い、もう1つはラゲール歴史（重み付きモーツキン経路）を用いる。
• 閉形式式は、経路の重みを分解し、符号反転の対合または超幾何級数からの係数抽出を用いて導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的オイラーおよびロゼルの正接数および正割数に関する恒等式は、交差および弱超過といった置換統計のqアナログを用いて精緻化可能だろうか？
• RQ2 q正接数およびq正割数の組合せ的解釈は、置換テーブルックスおよび重み付き格子経路の観点からどのように説明できるか？
• RQ3 wex(σ) および cr(σ) を含む置換および準順列上の符号付き和は、q正接およびq正割母関数の連分数展開とどのように関係するか？
• RQ4 q正接およびq正割の両ケースを統合する、パリティに依存しないE_n(q)の統一された閉形式式は存在するか？
• RQ5 重み付き経路上の符号反転の対合を用いて、E_n(q)の閉形式式を導出可能だろうか？

主な発見

• 本稿は、n が奇数のとき (−1)^((n−1)/2) E_n(q) に等しく、n が偶数のとき 0 に等しい、∑σ∈𝔖n (−1)^wex(σ) q^cr(σ) が成り立つことを確立した。
• 準順列について、n が偶数のとき (−1/q)^(n/2) E_n(q) に等しく、n が奇数のとき 0 に等しい、∑σ∈𝒟_n (−1/q)^wex(σ) q^cr(σ) が成り立つ。
• 二項係数およびq指数の交互和を用いて、E_{2n+1}(q) および E_{2n}(q) の閉形式式が導出された。
• E_{2n+1}(q) の式は、(1−q)^{−(2n+1)} ∑_{k=0}^n (binom{2n+1}{n−k} − binom{2n+1}{n−k−1}) ∑_{i=0}^{2k+1} (−1)^{i+k} q^{i(2k+2−i)} として与えられる。
• E_{2n}(q) の式は、(1−q)^{−2n} ∑_{k=0}^n (binom{2n}{n−k} − binom{2n}{n−k−1}) ∑_{i=0}^{2k} (−1)^{i+k} q^{i(2k−i)+k} として与えられる。
• E_n(q) の統一された式は、(−1)^{⌊n/2⌋}/(1−q)^n に、二項係数の差とq指数を含むkおよびiに関する和を乗じたものとして導出され、n が偶数または奇数の両方で有効である。