[論文レビュー] A $q$-Queens Problem. III. Nonattacking Partial Queens

Seth Chaiken, Christopher R. H. Hanusa+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$q$-クイーン問題を、クイーンの動きの部分集合を持つ部分クイーン（部分クイーン）に拡張し、Ehrhart理論とインサイドアウト多面体を用いて、$n\times n$ ボード上の非互いに攻撃しない配置を数えるための準多項式の4つの最高次の係数について明示的な公式を導出する。5つの最高次の係数が定数（$n$ に依存しない）であることを証明し、次の係数の周期が動きの集合に依存することを特定し、3つの非互いに攻撃しない部分クイーンについても組合せ的に異なる配置の数を含めた正確な公式を提供する。

ABSTRACT

We apply our geometrical theory for counting placements of $q$ nonattacking on an $n imes n$ chessboard, from Parts~I and II, to partial queens: that is, chess pieces with any combination of horizontal, vertical, and $45^\circ$-diagonal moves. Parts~I and II showed that for any rider (a piece with moves of unlimited length) the answer will be a quasipolynomial function of $n$ in which the coefficients are essentially polynomials in $q$. Those general results gave the three highest-order coefficients of the counting quasipolynomial and formulas for counting placements of two nonattacking pieces and the combinatorially distinct types of such placements. By contrast, the unified framework we present here for partial queens allows us to explicitly compute the four highest-order coefficients of the counting quasipolynomial, show that the five highest-order coefficients are constant (independent of $n$), and find the period of the next coefficient (which depends upon the exact set of moves). Furthermore, for three nonattacking partial queens we are able to prove formulas for the total number of nonattacking placements and for the number of their combinatorially distinct types. The method of proof, as in the previous parts, is by detailed analysis of the lattice of subspaces of an inside-out polytope.

研究の動機と目的

• 部分クイーン（クイーンの動きの部分集合を持つライダー）への$q$-クイーン問題の一般化を図り、非互いに攻撃する配置を数える統一的な枠組みを提供すること。
• 部分クイーンの数え上げ準多項式の構造を特定すること、特に最高次の係数とその動きの集合への依存性を解明すること。
• 準多項式における5つの最高次の係数が定数（$n$ に依存しない）であることを証明し、次の係数の周期が動きのタイプにどのように依存するかを計算すること。
• 3つの非互いに攻撃する部分クイーンについて、非互いに攻撃する配置の総数と組合せ的に異なるタイプの数について、明示的な公式を導出すること。
• Ehrhart理論とインサイドアウト多面体からの幾何学的・代数的道具を用いて、駒の動きに対応する超平面の配置における格子点の数を分析すること。

提案手法

• 部分クイーンの$q$-部分クイーン問題を、部分クイーンの動きの超平面配置$\mathscr{A}_{\mathbb{P}}$を伴うインサイドアウト多面体$([0,1]^{2q}, \mathscr{A}_{\mathbb{P}})$における格子点数の問題としてモデル化する。
• Ehrhart理論を適用して、非互いに攻撃する配置の数を$n$に関する準多項式として表現し、係数が$q$に関する多項式であることを示す。
• 交差半順序集合$\mathscr{L}$における余次元1, 2, 3の部分空間からの寄与を、Möbius逆転と格子点数の数え上げを用いて計算する。
• 各部分空間$\mathcal{U}$に対応する配置で特定の駒が互いに攻撃する状況を重みづけするため、Möbius関数$\mu(\hat{0}, \mathcal{U})$を用いる。
• 2-および3駒の同一直線上の攻撃を数える公式$\alpha^{d/c}(n)$, $\beta^{d/c}(n)$, および$\varepsilon = \frac{1}{2}[1 - (-1)^n]$を用いて、各部分空間タイプ（例：$\mathcal{U}_2^2$, $\mathcal{U}_4^2$, $\mathcal{U}_6^3$）における格子点数を明示的に計算する。
• すべての部分空間タイプからの寄与を合算して、$o_{\mathbb{Q}^{hk}}(q;n)$の完全な準多項式を導出し、$h$（水平/垂直の動き）と$k$（斜めの動き）を用いた係数の明示的表現を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非互いに攻撃しない部分クイーンの配置を数える準多項式の4つの最高次の係数について、明示的な公式は何か？
• RQ2 部分クイーンでは、準多項式における5つの最高次の係数が定数（$n$ に依存しない）であるのはなぜか？ これは一般のライダーの場合とはどのように異なるか？
• RQ3 準多項式における$n^{2q-7}$の係数の周期は何か？ また、これは部分クイーンの動きの集合にどのように依存するか？
• RQ4 3つの非互いに攻撃する部分クイーンを配置する場合、非互いに攻撃する配置の総数と組合せ的に異なるタイプの数について、正確な公式を導出できるか？
• RQ5 動きの集合（つまり$h$と$k$）は、数え上げ準多項式の構造、特に低次の係数の周期性にどのように影響するか？

主な発見

• 準多項式$o_{\mathbb{Q}^{hk}}(q;n)$の4つの最高次の係数は、$h$と$k$の関数として明示的に計算され、$n^{2q-4}$項の主要項は$\frac{1}{(2q)!} \cdot \frac{1}{24} h^2 k^2$として与えられる。
• 5つの最高次の係数（$n^{2q-6}$まで）は定数であり、$n$ に依存しない。これは、完全なクイーンやビショップでは成り立たない。
• $n^{2q-7}$の係数の周期は動きの集合に依存する：部分クイーンが両方の斜めの動きを欠いている場合、周期は1（定数）だが、それ以外の場合は2以上である可能性がある。
• 3つの非互いに攻撃する部分クイーンの場合、配置の総数は、$h$, $k$, $q$ を含む閉形式の準多項式表現で与えられ、$\mathcal{U}_2^2$, $\mathcal{U}_4^2$, $\mathcal{U}_6^3$ などのすべての部分空間タイプからの寄与が含まれる。それぞれ$n^{2q-3}$, $n^{2q-5}$, $n^{2q-7}$の項を寄与する。
• 3つの非互いに攻撃する部分クイーンの組合せ的に異なる配置の数は、$h+k$ の総動き数にのみ依存し、その具体的な種別には依存しない（補題4.3による）。
• $n^{2q-9}$の係数には$(-1)^n$を含む項があり、周期2を示唆する。これは$\mathcal{U}_6^3$タイプで$\varepsilon = \frac{1}{2}[1 - (-1)^n]$から生じ、周期性が$n$の偶奇に依存することを示している。