[論文レビュー] A QAOA-inspired circuit for Grover's unstructured search using a transverse field

Jiang Zhang, Eleanor Rieffel+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、問題ハミルトニアン（オракル）と横磁場を交互に適用することで、非構造的探索におけるグローバーの2乗速度向上を達成するQAOAにインspiredされた量子回路を提示する。スピンコherent状態解析を用いて、遷移率が $\Theta(1/\sqrt{N})$ であり、重なりが $\Theta(1)$ であることを示し、クエリ複雑度は $T \simeq \sqrt{N} \cdot \pi/(2\sqrt{2})$ となる。これは、Trotter化されていないQAOAで初めて量子優位性を示すものである。

ABSTRACT

Inspired by a class of algorithms proposed by Farhi et al., namely the quantum approximate optimization algorithm (QAOA), we present a circuit-based quantum algorithm to search for a needle in a haystack, obtaining the same quadratic speedup achieved by Grover's original algorithm. In our algorithm, the problem Hamiltonian (oracle) and a transverse field are applied alternately to the system in a periodic manner. We introduced a novel technique, a spin-coherent-state approach, to analyze the composite unitary in a single period. This composite unitary drives a closed transition between two states that have high degrees of overlap with the initial state and the target state, respectively. The transition rate in our algorithm is of order $\Theta(1/\sqrt N)$, and the overlaps are of order $\Theta(1)$, yielding a nearly optimal query complexity of $T\simeq \sqrt N (\pi/2\sqrt 2\,)$. Our algorithm is the first example of a QAOA circuit that demonstrates a quantum advantage with large number of iterations that is not derived from Trotterization of an adiabatic quantum optimization (AQO) algorithm. It also suggests that the analysis required to understand QAOA circuits involves a very different process from estimating the energy gap of a Hamiltonian in AQO.

研究の動機と目的

• 構造的でない探索のためのグローバーの2乗速度向上を、断続的遷移やTrotter化に依存せずに達成するQAOAにインスパイアされた量子アルゴリズムを開発すること。
• 問題ハミルトニアンと横磁場からなる周期的駆動量子系のダイナミクスを、新しいスピンコherent状態アプローチを用いて分析すること。
• 断続的でTrotter化されていないQAOA回路が、依然として探索問題において量子優位性を示すことができることを実証すること。
• 断続的量子最適化におけるエネルギーギャップ分析とは異なる、コherent状態遷移の構造とQAOAダイナミクスとの関係を確立すること。
• 初期状態および目的状態との高い重なりを達成することで、$T \simeq \sqrt{N} \cdot \pi/(2\sqrt{2})$ のほぼ最適なクエリ複雑度を達成すること。

提案手法

• アルゴリズムは、問題ハミルトニアン（オラクル）と横磁場を周期的な順序で交互に適用し、合成ユニタリ発展を形成する。
• スピンコherent状態アプローチを用いて、1周期における有効な発展を分析し、2つの状態間の閉じた遷移を特定する。
• 合成ユニタリを用いて、初期状態と高い重なりを持つ状態と、目的状態と高い重なりを持つ状態を同定する。
• これらの状態間の遷移率は $\Theta(1/\sqrt{N})$ として導出され、探索空間サイズの平方根の逆数に比例する。
• 解析により、初期状態および目的状態との重なりが両方とも $\Theta(1)$ であることが示され、効率的な状態集積が保証される。
• クエリ複雑度は $T \simeq \sqrt{N} \cdot \pi/(2\sqrt{2})$ と推定され、理論的最適値 $\pi\sqrt{N}/2$ に近い。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QAOAにインスパイアされた回路は、断続的遷移やTrotter化に依存せずに、グローバーの2乗速度向上を達成できるか？
• RQ2 横磁場は、断続的条件下で初期状態と目的状態間のコherentな状態集積をどのように可能にするか？
• RQ3 スピンコherent状態形式は、QAOA回路における合成ユニタリ発展の分析をどのように可能にするか？
• RQ4 提案されたアルゴリズムにおける遷移率と状態重なりのスケーリングは何か？ そして、クエリ複雑度にどのように影響するか？
• RQ5 このアプローチは、断続的量子最適化から派生していないにもかかわらず、多数の反復を経ても量子優位性を示すか？

主な発見

• アルゴリズムは $\Theta(1/\sqrt{N})$ の遷移率を達成し、これは非構造的探索において最適である。
• 変化した状態と初期状態および目的状態との重なりは、両方とも $\Theta(1)$ であり、強力な状態集積を示している。
• クエリ複雑度は $T \simeq \sqrt{N} \cdot \pi/(2\sqrt{2})$ であり、グローバーのアルゴリズムの理論的最小値に近い。
• エネルギーギャップ推定とは異なる、QAOAダイナミクスを理解するための新しい解析的フレームワークを、スピンコherent状態を用いて提供する。
• これは、断続的駆動から派生するが、断続的遷移やTrotter化に依存しない最初のQAOA回路で、量子優位性を示すものである。
• 結果から、QAOAの解析には、断続的量子最適化で用いられるのとは根本的に異なるツールが必要であることが示唆される。