[論文レビュー] A Quadratic Lower Bound for Homogeneous Algebraic Branching Programs

Yabe, Akihiro|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、行列式複雑度の新たなランクに基づく下界技術として、二多項式ランクを導入し、多項式を計算する算術分岐プログラムのサイズに対する下界を示している。実数体上では、パーマネントの下界として (d−1)²+1 を得ており、これにより従来の d²/2 の下界を改善し、凹最小化を用いた新たな最適化アプローチを提示することで、パーマネント対行列式問題に取り組むものである。

ABSTRACT

An algebraic branching program (ABP) is a directed acyclic graph, with a start vertex s, and end vertex t and each edge having a weight which is an affine form in variables x_1, x_2, ..., x_n over an underlying field. An ABP computes a polynomial in a natural way, as the sum of weights of all paths from s to t, where the weight of a path is the product of the weights of the edges in the path. An ABP is said to be homogeneous if the polynomial computed at every vertex is homogeneous. In this paper, we show that any homogeneous algebraic branching program which computes the polynomial x_1^n + x_2^n + ... + x_n^n has at least Omega(n^2) vertices (and edges). To the best of our knowledge, this seems to be the first non-trivial super-linear lower bound on the number of vertices for a general homogeneous ABP and slightly improves the known lower bound of Omega(n log n) on the number of edges in a general (possibly non-homogeneous) ABP, which follows from the classical results of Strassen (1973) and Baur--Strassen (1983). On the way, we also get an alternate and unified proof of an Omega(n log n) lower bound on the size of a homogeneous arithmetic circuit (follows from [Strassen, 1973] and [Baur-Strassen, 1983]), and an n/2 lower bound (n over reals) on the determinantal complexity of an explicit polynomial [Mignon-Ressayre, 2004], [Cai, Chen, Li, 2010], [Yabe, 2015]. These are currently the best lower bounds known for these problems for any explicit polynomial, and were originally proved nearly two decades apart using seemingly different proof techniques.

研究の動機と目的

• 行列式複雑度のための新たなランクに基づく下界技術を開発すること。
• パーマネントの行列式複雑度に対する既知の二次下界 d²/2 を改善すること。
• 二多項式ランクを推定するための計算フレームワークを、凹最小化を用いて提供すること。
• 代数的複雑度理論におけるパーマネント対行列式問題に取り組む新たな戦略を提示すること。

提案手法

• 多項式 p ∈ K[x](2k) が同次であるとき、その二多項式ランク b-rank(p) を、p = Σ_{i=1}^n fi gi と表すことができるような最小の n として定義する。ただし、fi, gi ∈ K[x](k) である。
• x0 ∈ Zeros(p) に対して、行列式複雑度 dc(p) ≥ (1/2^{2k−2}) × b-rank(p(2k)_x0) − 2(k−1)D^{k−1} を証明する。
• b-rank(p) の計算を、対称行列空間 Sym_n 内のアフィン部分空間 Xp と正定値行列の交わりにおけるランク最小化問題として定式化する。
• 凹最小化理論を用いる：すべての X ∈ Xp ∩ Psd_n に対して、n−r 個の小さい固有値の和が正であれば、b-rank(p) > r/2 が成り立つ。
• Xp ∩ Psd_n を含む多面体凸集合 P の極点を用いた証明により、最小固有値の和が正であることを検証する。
• この手法をパーマネント多項式に適用し、b-rank(perm(2k)_d,X_d) = Ω(d^{2k}) ならば dc(permd) = Ω(d^{2k}) であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘッセ行列ランク法の高次一般化が、行列式複雑度の下界を改善できるか？
• RQ2 二多項式ランクが、パーマネントの行列式複雑度に対して意味的な下界を提供できるか？
• RQ3 凹最小化技術を用いて、実数上での二多項式ランクを効率的に計算または下界付けられるか？
• RQ4 四階微分を用いることで、dc(permd) に対して Ω(d^4) の下界を確立する計算戦略は存在するか？
• RQ5 二多項式ランクフレームワークを用いて、パーマネント対行列式問題に対する新たな最適化理論的フラップ戦略を構築できるか？

主な発見

• 二多項式ランクは行列式複雑度の下界を与える：dc(p) ≥ (1/2^{2k−2}) × b-rank(p(2k)_x0) − 2(k−1)D^{k−1}。
• 実数体上では、d×d パーマネントの行列式複雑度は dc(permd) ≥ (d−1)^2 + 1 を満たし、従来の d²/2 の下界を改善している。
• 一般の同次多項式（次数 2k）の二多項式ランクは、少なくとも k! D^k / 2(2k)! に達するため、二次を超える下界の可能性を示している。
• k=1 の場合、本手法はミニョンとレサリュールのヘッセに基づく下界を再現し、それを鋭くしている。
• 本手法により、例えば四階微分を用いた Ω(d^4) の下界を得るための、高次微分に注目する新たな戦略が可能になる。
• 多面体の極点を用いた計算証明により、すべての X ∈ Xp ∩ Psd_n に対して n−r 個の小さい固有値の和が正であれば、b-rank(p) > r/2 が保証される。