[論文レビュー] A Quadratic-Time Algorithm for General Multivariate Polynomial Interpolation

Michael Hecht, Bevan L. Cheeseman+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2017

Polynomial and algebraic computation参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、バーデルモンド行列の逆行列を用いないO(N²)時間で係数を計算する、多変数多項式補間のための新規再帰的アルゴリズムであるPIP-SOLVERを提示する。この手法は、行列逆行列法に比べて優れた数値的安定性と性能を達成し、大規模な補間問題を保証された精度と低コストで効率的に解ける。

ABSTRACT

For $m,n \in \mathbb{N}$, $m\geq 1$ and a given function $f : \mathbb{R}^m\longrightarrow \mathbb{R}$ the polynomial interpolation problem (PIP) is to determine a \emph{generic node set} $P \subseteq \mathbb{R}^m$ and the coefficients of the uniquely defined polynomial $Q\in\mathbb{R}[x_1,\dots,x_m]$ in $m$ variables of degree $\mathrm{deg}(Q)\leq n \in \mathbb{N}$ that fits $f$ on $P$, i.e., $Q(p) = f(p)$, $\forall\, p \in P$. We here show that in general, i.e., for arbitrary $m,n \in \mathbb{N}$, $m \geq 1$, there exists an algorithm that determines $P$ and computes the $N(\mbox{m,n})=\#P$ coefficients of $Q$ in $\mathcal{O}\big(N(\mbox{m,n})^2\big)$ time using $\mathcal{O}\big(\mbox{m}N(\mbox{m,n})\big)$ storage, without inverting the occurring Vandermonde matrix. We provide such an algorithm, termed PIP-SOLVER, based on a recursive decomposition of the problem and prove its correctness. Since the present approach solves the PIP without matrix inversion, it is computationally more efficient and numerically more robust than previous approaches. We demonstrate this in numerical experiments and compare with previous approaches based on matrix inversion and linear systems solving.

研究の動機と目的

• 行列の逆行列に依存しない一般の多変数多項式補間（PIP）の数値的に安定で計算コストの低いアルゴリズムの開発を目的とする。
• 線形方程式系の解法や大規模バーデルモンド行列の逆行列を用いる従来の手法が抱える高い計算コストと数値的不安定性を克服することを目的とする。
• 再帰的分解フレームワークを提供し、N = N(m,n) が単項式の数であるとき、O(N²)時間とO(mN)記憶領域でPIPを解くことを可能とすることを目的とする。
• アルゴリズムが非常に大きな問題サイズに対しても高い精度を維持できることを示し、実行時間と数値的頑健性の両面で従来手法を上回ることを目的とする。
• 将来的にチェビシェフ多項式やフーリエ基底などの他の基底関数へ拡張する基盤を確立することを目的とする。また、分散型または並列計算環境への応用も視野に入れる。

提案手法

• アルゴリズムは、多変数補間問題をハイパーサーフェスに沿って次元を下げた部分問題に再帰的に分解し、部分解を独立して計算可能とする。
• 多項式Qの全次数≤nを満たし、すべてのp∈Pに対してQ(p)=f(p)を満たすような一般化されたノード集合P ⊆ ℝ^mを構築する。
• 古典的手法の計算ボトル neck であるN×Nの多変数バーデルモンド行列V_{m,n}の明示的逆行列を回避する。
• 部分問題は、コドメイン1のハイパーサーフェスH_εに補間を投影することで再帰的に解き、単項式基底の構造と再帰的係数回復を活用する。
• 数値的不安定な行列演算を回避し、代わりに再帰的かつ数値的に安定した計算に依存することで、数値的安定性を確保する。
• 小規模な部分問題（N ≤ 5…8×10⁴）に対しては、再帰的手法と直接的行列逆行列を組み合わせたハイブリッド戦略を提案し、スケールに最適化されたパフォーマンスを実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バーデルモンド行列の逆行列を用いずに、多変数多項式補間問題をO(N²)時間で解くことは可能か？
• RQ2 ハイパーサーフェスに沿った補間問題の再帰的分解は、数値的に安定で効率的なソルバをどのように実現するか？
• RQ3 PIPを最小の条件数と最大の数値的精度を満たすように部分問題に分解する最適な方法は何か？
• RQ4 このアルゴリズムは、チェビシェフ多項式やフーリエ多項式などの任意の基底関数へ一般化可能か？
• RQ5 行列逆行列に基づくソルバと比較して、再帰的手法のパフォーマンスと精度は問題サイズの増大に伴いどのようにスケーリングするか？

主な発見

• 提案されたPIP-SOLVERアルゴリズムは、N = N(m,n) = (m+n choose m) であるとき、O(N²)時間とO(mN)記憶領域で補間多項式の係数を計算する。
• アルゴリズムは行列逆行列を完全に回避するため、行列逆行列の理論的下界O(N² log N)を下回り、実用的にはコッパースミス＝ウィングランドやストラッセンに基づく手法を凌駆する。
• 数値実験の結果、古典的手法（線形方程式系の解法や行列逆行列に基づくもの）と比較して、PIP-SOLVERは著しく高い精度と高速な実行時間を達成している。
• 改善は前因数の問題にとどまらず、スケーリングの挙動において顕著である：非常に大きな問題に対しても、定数の数値的精度を維持する。
• 計算コストの低減と数値的安定性の向上により、従来では実行不可能とされていた補間問題が解けるようになる。
• 部分問題の独立性により、分散メモリ型並列実装が可能であり、さらに実行時間の短縮とメモリスケーラビリティが達成できる。