[論文レビュー] A Quantitative Doignon-Bell-Scarf Theorem

Iskander Aliev, Robert Bassett+2 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、ドゥイニオン＝ベル＝スカーフの定理の定量的一般化を提示し、n次元空間内の整数点をちょうどk個もつ任意の多面体に対して、そのk個の整数点をすべて保持するような不等式の部分集合が存在することを証明する。その部分集合のサイズは、nとkにのみ依存する普遍定数c(n,k)未満である。主な結果として、c(n,k) ≤ ⌈2(k+1)/3⌉2ⁿ − 2⌈2(k+1)/3⌉ + 2 という上界が確立され、k=1の場合はタイトであることが示され、c(n,1) = 2(2ⁿ−1) が成り立つ。

ABSTRACT

The famous Doignon-Bell-Scarf Theorem is a Helly-type result about the existence of integer solutions on systems of linear inequalities. The purpose of this paper is to present the following quantitative generalization: Given an integer $k$, we prove that there exists a constant $c(n,k)$, depending only on the dimension $n$ and $k$, such that if a polyhedron ${x: Ax \leq b}$ contains exactly k integer solutions, then there exists a subset of the rows, of cardinality no more than $c(n,k)$, defining a polyhedron that contains exactly the same $k$ integer points. In this case $c(n,0) = 2^n$ is the original case of Doignon-Bell-Scarf for infeasible systems of inequalities. We work on both upper and lower bounds for the constant $c(n,k)$ and discuss some consequences, including a Clarkson-style algorithm to find the $l$-th best solution of an integer program with respect to the ordering induced by the objective function.

研究の動機と目的

• 整数点をちょうどk個もつ多面体を解析する定量的設定において、古典的ドゥイニオン＝ベル＝スカーフの定理を一般化すること。
• 次元nと整数点の個数kにのみ依存する普遍定数c(n,k)の存在を確立し、そのc(n,k)個以下の不等式の部分集合が、すべてのk個の整数点を保持することを示すこと。
• c(n,k)の明示的な上界と下界を導出し、特にk=1のときのタイトさを証明すること。
• この結果を応用して、次元とlに指数的でない依存関係を示すクラークソン風のアルゴリズムを設計し、整数計画法におけるl番目の最良解を計算すること。
• 固定次元における複数の妥当解を求める際の複雑度の境界を導くために、違反者空間への理論の拡張を図ること。

提案手法

• 多面体にちょうどk個の整数点が存在する場合を扱うために、元のドゥイニオン＝ベル＝スカーフの証明手法を一般化し、数え上げ的議論と組合せ幾何学的手法を導入すること。
• 整数点をちょうど1個もつ相対的内部にその点を持つ2(2ⁿ−1)個の面をもつ多面体の構成を用いて、下界を確立すること。
• 違反者空間の理論とブラックボックスクエリを用いて、l番目の最良整数解を求める確率的アルゴリズムを設計すること。
• 各クエリに対してO(ls)時間で応答できるように、固定次元整数計画法におけるアイゼンブランドのアルゴリズムを用いて基本的クエリを処理すること。ここでsはビット複雑度を表す。
• 有理生成関数と凸幾何学を用いて理論的複雑度境界を支持し、凸集合の族への結果の拡張を図ること。
• 整数点集合を保持する不等式部分集合の組合せ的解析を通じて、上界c(n,k) ≤ ⌈2(k+1)/3⌉2ⁿ − 2⌈2(k+1)/3⌉ + 2 を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界なn次元多面体にちょうどk個の整数点が存在する場合に、それらをすべて保持するのに必要な最小の不等式数は何か？
• RQ2 古典的ドゥイニオン＝ベル＝スカーフの定理は、固定された非ゼロ個数の整数点を持つ多面体を扱う定量的バージョンに拡張可能か？
• RQ3 上界c(n,k) ≤ ⌈2(k+1)/3⌉2ⁿ − 2⌈2(k+1)/3⌉ + 2 はすべてのkに対してタイトか、それとも特定の値（例：k=1）でのみタイトか？
• RQ4 定量的ドゥイニオン＝ベル＝スカーフの結果を、整数計画法におけるl番目の最良解を効率的に計算するのにどう応用できるか？
• RQ5 この定理を用いた場合、l番目の最良解を求める際の複雑度は何か、特に固定次元における場合の複雑度は？

主な発見

• 本稿では、ℝⁿ内にちょうどk個の整数点をもつ任意の多面体に対して、そのk個の整数点をすべて保持するような不等式の部分集合が存在し、そのサイズがnとkにのみ依存する普遍定数c(n,k)未満であることを確立した。
• k=1の場合、上界はタイトである：c(n,1) = 2(2ⁿ−1) であり、これは、整数点をちょうど1個もつ相対的内部にその点を持つ2(2ⁿ−1)個の面をもつ多面体の構成により証明された。
• 上界はc(n,k) ≤ ⌈2(k+1)/3⌉2ⁿ − 2⌈2(k+1)/3⌉ + 2 であり、これは以前の境界を改善し、k=1の場合はタイトであることが示された。
• この結果により、整数計画法におけるl番目の最良解を求めるクラークソン風のアルゴリズムが可能となり、期待される実行時間はO((ls)(c(n,l)m + c(n,l)^{O(c(n,l))}))回の操作で達成される。
• 固定次元nと定数lに対して、アルゴリズムは入力サイズに関して多項式時間で動作し、lと次元に指数的でない依存関係を示す。
• この手法は違反者空間に適用可能であり、ブラックボックス基本クエリメカニズムを用いる。各クエリは、固定次元整数計画法のアイゼンブランドのアルゴリズムを用いてO(ls)時間で処理される。