[論文レビュー] A quantitative geometric rigidity result in SBD

Manuel Friedrich, Bernd Schmidt|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2015

Numerical methods in engineering参考文献 32被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、2次元における有界変形関数（SBD）に対して、定量的幾何的剛性推定を確立し、破壊的材料の不連続性を考慮した古典的剛性結果を一般化する。任意の変形が、局所的剛体運動とそのずれを表す変位場に分解可能であり、両者の体積エネルギーおよび表面エネルギー寄与が制御可能であることを証明し、幾何的に線形化された設定下で局所的Korn-Poincaré不等式を導出する。

ABSTRACT

We present a quantitative geometric rigidity estimate for special functions of bounded deformation in a planar setting generalizing the result by Friesecke, James, Müller obtained in nonlinear elasticity theory and the piecewise rigidity result by Chambolle, Giacomini, Ponsiglione for brittle materials which do not store elastic energy. We show that for each deformation there is an associated triple consisting of a partition of the domain, a corresponding piecewise rigid motion being constant on each connected component of the cracked body and a displacement field measuring the distance of the deformation from the piecewise rigid motion. We also present a related estimate in the geometrically linear setting which can be interpreted as a `piecewise Korn-Poincaré inequality'.

研究の動機と目的

• Sobolev空間からの幾何的剛性推定を、ジャンプ不連続性を許容する有界変形（SBD）関数へと拡張すること。
• 破壊のモデル化として、変形を制御された変位場を持つ局所的剛体運動として特徴付けること。
• 変形勾配が回転から離れる度合いと、局所的剛体運動からの距離を測るグローバルな変位場を結ぶ定量的推定を導出すること。
• 幾何的に線形化された設定下で剛性結果のバージョンを確立し、これを「局所的Korn-Poincaré不等式」として解釈すること。
• ひびわれを伴う状況下で、体積エネルギーと表面エネルギー寄与を制御し、変分的破壊モデルへの応用を可能にすること。

提案手法

• ドメインの分割、各連結成分上で定数となる局所的剛体運動、および剛性からのずれを測る変位場からなる三重分解を導入する。
• 局所化と修正技術を用いて、ひびわれを越えて関数を拡張し、修正された集合上で$H^1$-正則性を保つ。
• 局所的領域におけるKorn-Poincaré不等式を適用し、変位場の$L^2$-ノルムを制御する。
• ひびわれ集合を扱い、正則性を保つために、わずかに拡大されたドメイン$\Omega_\rho$上に修正された変形$\hat{y}$を構成する。
• dyadic立方体を用いた被覆論法により、非正則部分における勾配差$\nabla \hat{y} - R_j$の$L^p$-ノルムを制御する。
• Partition of unityと、局所的剛体運動による近似を用いて、SBD設定下での一様推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャンプ不連続性を許容するSBD関数に対して、定量的幾何的剛性推定を確立できるか？
• RQ2 ひびわれを伴う状況下で、変形が局所的剛体運動から離れる度合いをどのように定量的に制御できるか？
• RQ3 変分的破壊モデルにおいて、体積エネルギー（$\nabla u$を介して）と表面エネルギー（$J_u$を介して）の関係は何か？
• RQ4 SBD関数に対して、幾何的に線形化された設定下で局所的Korn-Poincaré不等式を導出できるか？
• RQ5 小さな集合や不規則なひびわれ幾何形状を伴う状況に対しても、剛性推定をどのように拡張できるか？

主な発見

• 任意の$u \in SBD(\Omega)$に対して、$\Omega$の分割$P_j$、各$P_j$上で定義された局所的剛体運動$R_j x + c_j$、および変位場$u - (R_j x + c_j)$が存在し、変位場の$L^2$-ノルムがひずみの$L^2$-ノルムとジャンプ集合の全 variation によって制御可能である。
• 各成分$P_j$上での変位場の$L^2$-ノルムは、$C(\rho) \varepsilon$によって上から抑えられ、ここで$\varepsilon$は$\nabla u$が$SO(2)$から離れる度合いを制御する。
• 修正されたドメイン上での勾配差$\nabla \hat{y} - R_j$の$L^4$-ノルムは、$C(\rho)\varepsilon$によって抑えられ、近似における正則性が保証される。
• ジャンプ集合$J_{\hat{y}}$の全周囲長は、$\mathcal{H}^1(J_{\hat{y}}) \leq \mathcal{H}^1(J_y) + C_1 \rho$を満たし、表面エネルギーの制御がなされている。
• 幾何的に線形化された設定下で、変位場は$\rho$および$\varepsilon$に依存する定数をもつ局所的Korn-Poincaré不等式を満たす。
• 結果は、測度が小さい集合まで一様に成り立ち、誤差項は$\varepsilon^{1-\eta}$および$\rho$によって制御される。