[論文レビュー] A quantitative version of James' compactness theorem

B. Cascales, Ondřej F. K. Kalenda+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2010

Advanced Banach Space Theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、バナッハ空間 $E$ 内の有界集合 $H$ の弱*極限が $E$ や $H$ からどれほど離れているかを測る2つの新しい弱非コンパクト性の尺度、$\operatorname{Ja_E}(H)$ と $\operatorname{Ja}(H)$ を導入する。弱コンパクト性に関するジェームズの定理の定量的バージョンを証明し、$C$ が閉凸有界集合であるとき、$C$ の弱*閉包が $C$ から正の距離にあるならば、任意の弱*最大化点が $E$ から少なくとも $r/2$ 離れているような汎関数 $x^*\in E^*$ が存在することを示し、複数の弱非コンパクト性の尺度の同値性を確立する。

ABSTRACT

We introduce two measures of weak non-compactness $Ja_E$ and $Ja$ that quantify, via distances, the idea of boundary behind James' compactness theorem. These measures tell us, for a bounded subset $C$ of a Banach space $E$ and for given $x^*\in E^*$, how far from $E$ or $C$ one needs to go to find $x^{**}\in \bar{C}^{w^*}\subset E^{**}$ with $x^{**}(x^*)=\sup x^* (C)$. A quantitative version of James' compactness theorem is proved using $Ja_E$ and $Ja$, and in particular it yields the following result: {\it Let $C$ be a closed convex bounded subset of a Banach space $E$ and $r>0$. If there is an element $x_0^{**}$ in $\bar{C}^{w^*}$ whose distance to $C$ is greater than $r$, then there is $x^*\in E^*$ such that each $x^{**}\in\bar{C}^{w^*}$ at which $\sup x^*(C)$ is attained has distance to $E$ greater than $r/2$.} We indeed establish that $Ja_E$ and $Ja$ are equivalent to other measures of weak non-compactness studied in the literature. We also collect particular cases and examples showing when the inequalities between the different measures of weak non-compactness can be equalities and when the inequalities are sharp.

研究の動機と目的

• ジェームズのコンパクト性定理における境界挙動を捉える定量的弱非コンパクト性の尺度を開発すること。
• ジェームズの古典的コンパクト性定理の定量的強化を確立し、弱コンパクト性の失敗が、双対空間における埋め込みのない点での上限が達成されるような汎関数の存在と関連することを示すこと。
• 既存の弱非コンパクト性の尺度、たとえば $\widehat{d}(\overline{C}^{w^*}, C)$ や $\widehat{d}(\overline{C}^{w^*}, E)$ と、新しい尺度 $\operatorname{Ja_E}(H)$ と $\operatorname{Ja}(H)$ の比較と関係を明らかにすること。

提案手法

• 任意の $x^* \in E^*$ に対して、$x^{**} \in \overline{H}^{w^*}$ が存在し、$x^{**}(x^*) = \sup x^*(H)$ かつ $\operatorname{dist}(x^{**}, E) \leq \varepsilon$ を満たすような $\varepsilon > 0$ の下界として $\operatorname{Ja_E}(H)$ を定義する。
• 任意の $x^* \in E^*$ に対して、$x^{**} \in \overline{H}^{w^*}$ が存在し、$x^{**}(x^*) = \sup x^*(H)$ かつ $\operatorname{dist}(x^{**}, H) \leq \varepsilon$ を満たすような $\varepsilon > 0$ の下界として $\operatorname{Ja}(H)$ を定義する。
• 任意の閉凸有界集合 $C \subset E$ に対して、$\operatorname{Ja_E}(C) \geq \frac{1}{2} \widehat{d}(\overline{C}^{w^*}, C)$ を証明し、定量的下界を確立する。
• 弱*列コンパクト性と対角線的補完の議論を用いて、弱コンパクト性の失敗を示す関数列と要素の列を構成し、下界の妥当性を検証する。
• $c_0(\Gamma)$ 内で、$\gamma_0(H)$, $\operatorname{Ja_E}(H)$, $\operatorname{ck_E}(H)$, $\gamma(H)$ といった標準的弱非コンパクト性測度が、任意の有界集合 $H \subset E$ に対して一致することを示し、特殊ケースにおける鋭さと等価性を示す。
• 不等式の鎖と反例を用いて、すべての検討された弱非コンパクト性測度の同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱*最大化点が元の空間または集合からどれほど離れているかを測ることで、ジェームズのコンパクト性定理をどのように定量的に強化できるか。
• RQ2 集合の閉包の弱*距離が元の空間からどれほど離れているかと、双対空間における非反射的点での上限が達成されるような汎関数の存在との間の正確な定量的関係は何か。
• RQ3 新しい測度 $\operatorname{Ja_E}(H)$ と $\operatorname{Ja}(H)$ は、$\widehat{d}(\overline{H}^{w^*}, E)$ や $\gamma(H)$ といった古典的測度と同値であるか。
• RQ4 どのバナッハ空間においてすべての弱非コンパクト性測度が一致するのか。その等価性を可能にする構造的性質は何か。
• RQ5 異なる弱非コンパクト性測度の間の不等式は鋭いか。その鋭さを示す例は何か。

主な発見

• 本稿では、任意のバナッハ空間 $E$ の閉凸有界集合 $C$ に対して、$\operatorname{Ja_E}(C) \geq \frac{1}{2} \widehat{d}(\overline{C}^{w^*}, C)$ を証明し、ジェームズの定理の定量的バージョンを提供する。
• $c_0(\Gamma)$ 空間では、任意の有界集合 $H \subset E$ に対して、$\gamma_0(H)$, $\operatorname{Ja_E}(H)$, $\operatorname{ck_E}(H)$, $\gamma(H)$ といった標準的弱非コンパクト性測度が一致することを示し、非反射的空間における等価性を示す。
• 一般条件下で、$\operatorname{Ja_E}(H)$ と $\operatorname{Ja}(H)$ が $\gamma(H)$, $\operatorname{ck_E}(H)$, $\widehat{d}(\overline{H}^{w^*}, E)$ といった既知の弱非コンパクト性測度と同値であることが示された。
• 不等式 $\operatorname{Ja_E}(C) \geq \frac{1}{2} \widehat{d}(\overline{C}^{w^*}, C)$ が鋭いことを示す例を構成し、特定の状況では等号が成立しうることを示した。
• 可分なバナッハ空間でコルソン性質 $\mathcal{C}$ を持つものでは、$\operatorname{ck_E}(H) = \widehat{d}(\overline{H}^{w^*}, E)$ が成り立ち、このような空間では測度の間の不等式が厳密であることが示されたが、$\operatorname{Ja}(C) \leq \operatorname{ck}(C)$ を除いては可能性がある。
• $\gamma_0(H) \geq \gamma(H)$ が成り立ち、$c_0(\Gamma)$ では等号が成立することを確認した。これにより、新しい測度が既存の理論と整合しており、弱非コンパクト性の統一的枠組みを提供することが確認された。