[論文レビュー] A quantum algorithm to solve nonlinear differential equations

Sarah K. Leyton, Tobias J. Osborne|ArXiv.org|Dec 23, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用数 65

ひとこと要約

この論文は、多項式非線形性を有するスパースな非線形常微分方程式（ODE）系を解くための量子アルゴリズムを提示している。量子アダミット非線形性とオイラー法の量子実装を活用し、変数の数に関して対数的スケーリングを達成するとともに、積分時間に関して指数的スケーリングを実現し、このような系に対して古典的手法と比較して指数的加速を達成する。

ABSTRACT

In this paper we describe a quantum algorithm to solve sparse systems of nonlinear differential equations whose nonlinear terms are polynomials. The algorithm is nondeterministic and its expected resource requirements are polylogarithmic in the number of variables and exponential in the integration time. The best classical algorithm runs in a time scaling linearly with the number of variables, so this provides an exponential improvement. The algorithm is built on two subroutines: (i) a quantum algorithm to implement a nonlinear transformation of the probability amplitudes of an unknown quantum state; and (ii) a quantum implementation of Euler's method.

研究の動機と目的

• 多項式非線形性を有する大規模なスパース非線形ODE系を効率的に解く量子アルゴリズムの開発を目的とする。
• 未知の量子状態として表現されるODE解に対する非線形変換の実装という課題に取り組む。
• 従来の線形系に対する量子アルゴリズムを基に、線形から非線形微分方程式へと量子優位性を拡張する。
• オルツァグ＝マクラウリン系や離散非線形シュレーディンガー方程式のような複雑な力学系の効率的シミュレーションを可能にする。
• エンタングルド初期状態を用いた、等時刻統計を持つ決定論的力学系に対する量子アルゴリズムの実現可能性を検討する。

提案手法

• アルゴリズムは、解ベクトルを符号化する量子状態の振幅に対する非線形変換を実装する非決定的量子サブルーチンを用いる。
• 2つの量子状態のコピーを用いてテンソル積状態により二乗項を生成し、二次多項式写像を可能にする。
• 正規化を維持するため測度保存変換を導入し、成功確率はアダミット強化により制御する。
• オイラー法は、ステップサイズ h を用いて非線形変換を繰り返し適用することで量子的に実装され、ODEの時間発展が近似される。
• この方法は変数数 n に関して多項式対数的スケーリング（poly(log n)）を示し、1/h および積分時間 t に関して指数的スケーリングを示す。
• 高次非線形性（立方など）の取り扱いには、ステップごとに3つ以上の状態コピーを用いる拡張が可能であり、等時刻統計の計算にはエンタングルド初期状態が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子アルゴリズムは、線形系の範囲を超えて、多項式非線形性を有する非線形ODE系を効率的に解くことができるか？
• RQ2 未知の量子状態に対する非線形振幅変換を実装する際のリソースコストはいかほどか？
• RQ3 スパース非線形ODE系に対して、時間およびステップサイズに関して指数的スケーリングを達成する量子オイラー法を効率的に実装できるか？
• RQ4 オルツァグ＝マクラウリン系や離散非線形シュレーディンガー方程式のような複雑な力学系を、量子アルゴリズムがどの程度効率的にシミュレートできるか？
• RQ5 量子振幅発展とエンタングルド状態を用いて、決定論的力学系の等時刻統計を効率的に計算することは可能か？

主な発見

• アルゴリズムは変数数 n に関して多項式対数的スケーリングを達成しており、n に線形に依存する古典的手法と比較して指数的加速を実現する。
• リソース要件は逆ステップサイズ h および積分時間 t に関して指数的に増加するため、実用的応用は短い積分時間または小さな h に限定される。
• 非線形項が効率的に計算可能な多項式であるスパース系に適用可能であり、特に ∑|zⱼ|² を保存する系に適している。
• 二次非線形性を有する系では、2つの量子状態コピーを用いてテンソル積状態により必要な振幅変換を実装する。
• 立方など高次非線形性への拡張は、各ステップで3つ以上の状態コピーを消費することで可能である。
• エンタングルド初期状態を進化させ、補助レジスタを測定することで、決定論的系の等時刻統計の効率的サンプリングが可能になる。