[論文レビュー] A Quantum Circuit to Construct All Maximal Cliques Using Grover Search Algorithm

C. R. Wie|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

この論文では、nノードのネットワークにおけるすべての最大クリークを特定するために、グローバーの探索アルゴリズムを用いた量子回路を提示している。隣接行列を量子オラクルに符号化することで、最大クリークを表す状態の重ね合わせを強調し、古典的な全探索手法と比較して2乗の高速化を達成する。

ABSTRACT

A quantum circuit to construct all maximal cliques using Grover search algorithm is presented. This oracle circuit takes as input an n-qubit state |x> and the adjacency matrix data A of an n-node network, and outputs the state (-1)^f(x) |x> where f(x)=1 if |x> is a maximal clique, and f(x)=0, otherwise. The oracle workspace requires 2n^2 qubits. Each oracle call makes about 10n^2 calls to the Toffoli gates. The overall Grover search algorithm takes as input a uniform superposition n-qubit state and the adjacency matrix data, and outputs a uniform superposition of all maximal clique states.

研究の動機と目的

• 量子並列処理とアモニチュード強調を用いて、グラフ内のすべての最大クリークを効率的に特定する量子アルゴリズムを開発すること。
• 古典的計算における最大クリーク列挙の計算的非効率性に対処するために、量子優位性を活用すること。
• 隣接行列を入力として用いて、他のn量子ビット状態から最大クリーク状態を区別する専用のオラクル回路を設計すること。
• 繰り返し適用されるグローバー反復を用いて、すべての最大クリーク状態の均一な重ね合わせを実現すること。

提案手法

• アルゴリズムは、潜在的なクリークを表すすべてのn量子ビット計算基底状態の均一な重ね合わせを初期化する。
• f(x) = 1 となるように、f(x) が状態 |x⟩ が最大クリークに対応する場合にのみ1を返すカスタムオラクル関数 f(x) が構築される。
• オラクルは隣接行列 A を用いて、|x⟩ に含まれるすべてのノードが互いに接続されているか、および追加のノードを追加できないかを検証する。
• オラクル出力は位相反転 (−1)^f(x) |x⟩ の形で符号化され、グローバーのアモニチュード強調プロセスに不可欠である。
• グローバー反復を繰り返し適用することで、重ね合わせ内のすべての最大クリーク状態の振幅が強調される。
• 回路は作業用に2n²量子ビットを必要とし、最大クリーク性の検証の複雑さのため、1回のオラクル呼び出しに約10n² Toffoliゲートが要する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバーの探索アルゴリズムは、量子オラクルを用いてグラフ内のすべての最大クリークを列挙するために適応可能か？
• RQ2 特に量子ビットとToffoliゲートの観点から、最大クリークを特定する量子回路を構築する際のリソースコストはいかほどか？
• RQ3 隣接行列をどのように量子オラクルに符号化し、候補となるクリークの最大性を検証できるか？
• RQ4 すべての最大クリーク状態の均一な重ね合わせを可能にする量子回路の構造はどのようなものか？

主な発見

• 提案された量子回路は、オラクルによる位相マークを用いたグローバーのアルゴリズムにより、すべての最大クリーク状態の均一な重ね合わせを正常に構築した。
• オラクルは、隣接行列を格納し、クリーク検証操作を実行するために2n²量子ビットを必要とする。
• 1回のオラクル呼び出しには約10n² Toffoliゲートが含まれており、これは相互接続性および最大性の検証の複雑さを反映している。
• アルゴリズムは、最大クリーク列挙に関して古典的全探索手法と比較して2乗の高速化を達成するが、正確な深さは最大クリークの数に依存する。
• この手法は、nノードのグラフにおいて正しく検証されており、隣接行列を入力として用いることでオラクルが正しく最大クリークを同定している。
• 回路設計は原則的にスケーラブルであるが、現在の量子ハードウェアの制限により実装は制限される。