[論文レビュー] A quantum field theory as emergent description of constrained supersymmetric classical dynamics

Hans-Thomas Elze|ArXiv.org|Aug 13, 2005

Quantum Mechanics and Applications参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、制約付き超対称的古典的力学から出現する量子場の理論の新しいメカニズムを提案する。コープマン＝フォン・ノイマンヒルベルト空間形式を適用し、リウヴィル作用素の負のスペクトルを排除する超対称性不変な制約を課すことにより、古典的力学が正のハミルトニアンと有界なエネルギースペクトルをもつ真の量子場の理論に写像される。これは、量子的性質の起源として動的な対称性の自发的破れを示唆する。

ABSTRACT

Deterministic dynamical models are discussed which can be described in quantum mechanical terms. In particular, a local quantum field theory is presented which is a supersymmetric classical model. -- The Hilbert space approach of Koopman and von Neumann is used to study the evolution of an ensemble of such classical systems. With the help of the supersymmetry algebra, the corresponding Liouville operator can be decomposed into two contributions, with positive and negative spectrum, respectively. The unstable negative part is eliminated by a constraint on physical states, which is invariant under the Hamiltonian flow. In this way, choosing suitable phase space coordinates, the classical Liouville equation becomes a functional Schroedinger equation of a genuine quantum field theory. Quantization here is intimately related to the constraint, which selects the part of Hilbert space where the Hamilton operator is positive. This is interpreted as dynamical symmetry breaking in an extended model, introducing a mass scale which discriminates classical dynamics beneath from emergent quantum mechanical behaviour.

研究の動機と目的

• 決定論的古典的力学が、制約付きヒルベルト空間アプローチによって量子場の理論を生じうるかどうかを調査すること。
• 古典的リウヴィル力学の不安定性（無限に広がる負のスペクトルを特徴とする）を、物理的状態の制約を課すことによって解消すること。
• 超対称性と正定値制約が、安定な基底状態を生成し、量子場の理論を模倣することを示すこと。
• 量子的性質の出現を、質量スケールパラメータによる動的対称性の破れの結果として解釈すること。

提案手法

• ハミルトニアン作用素に対してヒルベルト空間内にユニタリなリウヴィル作用素を持つ古典的統計力学を記述するため、コープマン＝フォン・ノイマン形式を採用すること。
• 超対称性代数を用いて、リウヴィル作用素を正のスペクトル部と負のスペクトル部に分解すること。
• 負のスペクトル成分を消去する物理的状態の制約を課すことにより、ハミルトニアンの流れに対する不変性を保つこと。
• 制約付き古典的リウヴィル方程式が真の量子場の理論の関数的シュレーディンガー方程式に一致するように、位相空間座標を選び直すこと。
• 超対称性を動的に破り、スペクトルを安定化するために、質量スケールパラメータ M を導入すること。
• 古典的と量子的領域の間を滑らかに接続する局所的順序パラメータを含む拡張されたハミルトニアンを構築すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限に広がるリウヴィルスペクトルを持つ決定論的古典系が、安定な量子場の理論を生じうるか？
• RQ2 超対称性がどのようにリウヴィル作用素の分解と制約を可能にし、正のハミルトニアンを生じさせるか？
• RQ3 動的対称性の破れは、古典的力学から量子的性質が出現する際に果たす役割は何か？
• RQ4 質量スケールパラメータ M の導入が、古典的から量子的性質への遷移をどのように制御するか？
• RQ5 量子場の理論の関数的シュレーディンガー方程式が、制約付き古典的リウヴィル方程式から導出可能か？

主な発見

• 超対称性不変な射影を介して制約された古典的リウヴィル方程式は、真の量子場の理論の関数的シュレーディンガー方程式と等価である。
• リウヴィル作用素の負のスペクトル成分が物理的状態の制約によって消去され、正定値ハミルトニアンと安定な基底状態が得られる。
• 制約はハミルトニアンの流れに対して不変性を保ち、古典的力学と整合性を保つ。
• 量子的性質の出現は、質量スケールパラメータ M によって区別される古典的・量子的領域を分ける動的対称性の破れに起因する。
• 高エネルギー極限では、系は無限に広がるスペクトルを示し古典的性質を示すが、低エネルギー極限ではスペクトルが下限から有界になり、量子的性質を示す。
• 古典的と量子的領域の間の遷移は、非線形順序パラメータによって制御され、高次の関数的微分を介して力学を変更する。