[論文レビュー] A quantum Johnson-Lindenstrauss lemma via unitary t-designs

Pranab Kumar Sen|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、量子次元削減における効率的実装を可能にするために、ハール一様ユニタリ行列の代わりにユニタリ t-デザインを用いる量子ジョンソン＝リンデンストラウス補題を提示する。t = O(d₂) の近似 t-デザインを用いることで、古典的ジョンソン＝リンデンストラウス補題と同等の歪みの保証を達成しつつ、ランダムビット数を O(d₂ log d₁) に抑え、量子回路による効率的実装を可能にする。これは、重ね合わせ状態の設定において完全なハール一様性の代わりにスケーラブルな代替手段を提供する。

ABSTRACT

The famous Johnson-Lindenstrauss lemma states that for any set of n vectors, there is a linear transformation into a space of dimension O(log n) that approximately preserves all their lengths. In fact, a Haar random unitary transformation followed by projection onto the first O(log n) coordinates followed by a scaling works as a valid transformation with high probability. In this work, we show that the Haar random unitary can be replaced by a uniformly random unitary chosen from a finite set called an approximate unitary t-design for t = O(log n). Choosing a unitary from such a design requires only polylogarithmic random bits as opposed to exponential in dimension random bits required to choose a Haar random unitary with reasonable precision. Moreover, since such unitaries can be efficiently implemented in the superpositional setting, our result can be viewed as an efficient quantum Johnson-Lindenstrauss transform akin to efficient quantum Fourier transforms widely used in earlier work on quantum algorithms. We prove our result by leveraging a method of Low for showing concentration for approximate unitary t-designs. We discuss algorithmic advantages and limitations of our result and conclude with a toy application to private information retrieval.

研究の動機と目的

• 量子状態埋め込みのための効率的な古典的ジョンソン＝リンデンストラウス補題の量子版を開発すること。
• 指数的ランダムネスを要するハール一様ユニタリ行列の代わりに、有限かつ効率的にサンプリング可能なユニタリ t-デザインを導入すること。
• 量子状態間の対ごとの内積が、高確率で (1±ε) の歪みの範囲内に保たれることを保証すること。
• ランダムネスと回路深さを低減することで、量子アルゴリズムにおける実用的実装を可能にすること。
• プライベート情報検索などの量子プロトコルへの応用を探索すること。

提案手法

• 量子次元削減におけるハール一様性の近似として、t = Θ(d₂) のユニタリ t-デザインを活用する。
• ユニタリのテンソル積上での t-デザインとハール期待値の差を制限するために、TPE（テンソル積拡張）フレームワークを用いる。
• 射影後のノルム歪みの尾部確率を制御するために、マーカフの不等式を適用する。
• ローの手法による集中不等式を用いて、t = O(d₂) の t-デザインが高確率での歪み制御に十分であることを示す。
• 変換を次のように構築する：t-デザインからのランダムユニタリを適用し、d₂次元のランダムブロックに射影し、√(d₁/d₂) でスケーリングする。
• 局所的なランダム量子回路の効率的構成を用い、多対数的回路深さとランダムネスで近似 t-デザインを形成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 t = O(d₂) のユニタリ t-デザインは、歪みの保証を維持したまま、ハール一様ユニタリ行列の置き換えとして量子ジョンソン＝リンデンストラウス変換に用いることができるか？
• RQ2 高確率で有効な量子ジョンソン＝リンデンストラウス変換を達成するための最小の t は何か？
• RQ3 ハールサンプリングと比較して、このような変換を実装するために必要なランダムビット数はどの程度か？
• RQ4 重ね合わせ状態に対して、このような変換を量子回路で効率的に実装できるか？
• RQ5 この変換のアルゴリズム的制限と潜在的な応用は何か？

主な発見

• t = Θ(d₂) のユニタリ t-デザインは、任意の量子状態の射影ノルムが、高確率で元のノルムの (1±ε) の範囲内に保たれることを保証する。
• このような t-デザインからサンプリングするのに必要なランダムビット数は O(d₂ log d₁) であり、ハールサンプリングに必要な 2^Ω(d₁²) ビットと比較して顕著な改善である。
• この変換は、多項式対数的サイズの量子回路で実装可能であり、量子アルゴリズムにとって効率的である。
• TPEフレームワークを用いた測度の集中により、誤差は d₂ に関して指数的に減少する。
• ブロック名の分布はほぼ一様であるが、古典的設定では制御が難しいが、これにより新しい量子応用が可能になる。
• プライベート情報検索への簡易応用を示した。今後の量子プロトコルにおける応用の可能性を示唆している。