[論文レビュー] A Quantum Kirwan Map: Bubbling and Fredholm Theory for Symplectic Vortices over the Plane

Fabian Ziltener|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2012

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、複素平面におけるシンプレクティック・バーチェスを用いた量子キルワン写像の構成に向けた基礎的な解析的結果を確立する。バーチェスの系列が、バーチェスと商空間内の正則球面を含む新しい種数0の安定写像の型に収束することを証明し、バーチェス方程式の垂直微分作用素が指定された指数をもつフレドホルム作用素であることを示す。これは、シンプレクティック的アーベルな条件下でのシンプレクティック商におけるキルワン写像の量子変形を定義する上で重要なステップである。

ABSTRACT

Consider a Hamiltonian action of a compact connected Lie group on a symplectic manifold $(M,ω)$. Conjecturally, under suitable assumptions there exists a morphism of cohomological field theories from the equivariant Gromov-Witten theory of $(M,ω)$ to the Gromov-Witten theory of the symplectic quotient. The morphism should be a deformation of the Kirwan map. The idea, due to D. A. Salamon, is to define such a deformation by counting gauge equivalence classes of symplectic vortices over the complex plane $C$. The present memoir is part of a project whose goal is to make this definition rigorous. Its main results deal with the symplectically aspherical case. The first one states that every sequence of equivalence classes of vortices over the plane has a subsequence that converges to a new type of genus zero stable map, provided that the energies of the vortices are uniformly bounded. Such a stable map consists of equivalence classes of vortices over the plane and holomorphic spheres in the symplectic quotient. The second main result is that the vertical differential of the vortex equations over the plane (at the level of gauge equivalence) is a Fredholm operator of a specified index. Potentially the quantum Kirwan map can be used to compute the quantum cohomology of symplectic quotients.

研究の動機と目的

• 複素平面におけるシンプレクティック・バーチェスを用いて、古典的キルワン写像の変形として量子キルワン写ムを厳密に定義すること。
• バブリングによるバーチェスのモジュライ空間のコンパクト化が、バーチェスと正則球面を含む安定写像として存在することを確立すること。
• 複素平面におけるバーチェス方程式の垂直微分作用素が、明確に定義された指数をもつフレドホルム作用素であることの証明。これは、量子不変量を定義するために不可欠である。
• シンプレクティック商の量子コホモロジーを等長的グロモフ＝ウィトテン理論を用いて計算するための解析的基盤を提供すること。

提案手法

• エネルギーの有界性の下でバーチェスの系列の挙動を分析するため、重み付きソボレフ空間とソフトスケーリング技術を用いる。
• ゲージ理論的アプローチを用いて、ゲージ同値類の下での収束を研究し、極限対象が、バーチェスと正則球面を含む新しい種数0の安定写像であることを証明する。
• バーチェス方程式の垂直微分作用素を、適切なソボレフ空間上の線形作用素として再定式化する。
• 随伴作用素の右逆が存在することを示し、ハーディー型不等式を用いてフレドホルム性を確立する。
• 等長的ホモロジー、チャーン数、マスロフ指数の理論を用いて、垂直微分作用素の指数を計算する。
• 運動量写像の正則性と群作用の自由性に依存する、バブリングを除いたコンパクトネスの議論を展開する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素平面におけるゲージ同値類の系列が一様に有界なエネルギーを持つ場合、その系列は、商空間内のバーチェスと正則球面を含む安定写像に収束するか？
• RQ2 複素平面におけるバーチェス方程式の垂直微分作用素はフレドホルム作用素であるか？その指数は何か？
• RQ3 量子キルワン写像は、等長的グロモフ＝ウィトテン理論からシンプレクティック商のグロモフ＝ウィトテン理論へのコホノロジー場理論の準同型として構成可能か？
• RQ4 複素平面上のバーチェスにおけるバブリング現象は、バーチェスのモジュライ空間のコンパクト化とどのように関係するか？
• RQ5 シンプレクティック的にアーベルな設定下におけるバーチェス方程式の垂直微分作用素の正確な解析的構造は何か？

主な発見

• エネルギーが一様に有界な複素平面上のゲージ同値類のバーチェスの任意の系列は、その部分列が、バーチェスとシンプレクティック商内の正則球面からなる種数0の安定写像に収束する。
• 複素平面におけるバーチェス方程式の垂直微分作用素は、等長的ホモロジーと運動量写像を用いて計算されたチャーン数とマスロフ指数の和に等しい指数をもつフレドホルム作用素である。
• 重み付きソボレフ空間の枠組みとハーディー型不等式を用いて、随伴作用素の右逆が存在することを示し、フレドホルム性を確立した。
• 極限の安定写像構造は、正則球面のバブリングとバーチェスの集中の両方を扱い、シンプレクティックトポロジーにおける通常のグロモフコンパクトネスを一般化する。
• 主要な線形化作用素の逆可換性を保証するため、運動量写像の微分と作用演算子のノルムの均一な下界に依存する。
• これらの結果は、標準仮定 (H) の下で成り立つ：群は運動量写像のゼロレベル集合上で自由に作用し、運動量写像は正則である。