[論文レビュー] A quantum linguistic characterization of the reverse relation between confidence interval and hypothesis testing

Shiro Ishikawa|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2014

Quantum Mechanics and Applications参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、古典的統計における信頼区間と仮説検定の概念的逆関係を解消するための量子的言語枠組みを提案する。測定理論—Axiom 1（測定）およびAxiom 2（因果性）—を用いて統計的推論をモデル化することで、標準的な教科書の仮説検定（例：t検定）が、信頼区間と数学的に双対的であることを示し、t分布が半距離に基づく棄却域から自然に導かれることが明らかになる。

ABSTRACT

Although there are many ideas for the formulations of statistical hypothesis testing, we consider that the likelihood ratio test is the most reasonable and orthodox. However, it is not handy, and thus, it is not usual in elementary books. That is, the statistical hypothesis testing written in elementary books is different from the likelihood ratio test. Thus, from the theoretical point of view, we have the following question: "What is the statistical hypothesis testing written in elementary books?" For example, we consider that even the difference between "one sided test" and "two sided test" is not clear yet. In this paper, we give an answer to this question. That is, we propose a new formulation of statistical hypothesis testing, which is contrary to the confidence interval methods. In other words, they are two sides of the same coin. This will be done in quantum language (or, measurement theory), which is characterized as the linguistic turn of the Copenhagen interpretation of quantum mechanics, and also, a kind of system theory such that it is applicable to both classical and quantum systems. Since quantum language is suited for theoretical arguments, we believe that our results are essentially final as a general theory.

研究の動機と目的

• 初等的統計的仮説検定の理論的基盤を明確化すること。これは、一般的に使われる最尤比検定とは異なる。
• 標準的統計教科書における片側検定と両側検定の区別に生じる概念的曖昧さを解消すること。
• 信頼区間と仮説検定を古典的統計において双対的であるとみなす統一的理論的枠組みを確立すること。
• 学生のt分布が、量子的言語の枠組みにおいて、半距離に基づく棄却域から自然に生じることを示すこと。
• 量子言語（測定理論）を用いて、古典的統計的推論の理論的に完全かつ最終的な定式化を提供すること。

提案手法

• 可換な $C^*$-代数の枠組み内で統計的推論を形式化し、状態を局所コンパクトなハウスドルフ空間 $\Omega$ の要素としてモデル化する。
• 量子言語のAxiom 1（測定）を適用し、平均 $\mu$ と標準偏差 $\sigma$ を持つ正規観測 $\mathsf{O}_N$ を用いて、測定値の確率を定義する。
• パrameter空間 $\Theta$ 上に半距離 $d^x_\Theta$ を導入し、仮説検定の棄却域を定義する。片側検定と両側検定の区別は、距離の定義による。
• 自由度 $n-1$ のt分布に基づき、$\alpha$-棄却域 $\widehat{R}^\alpha_{H_N}$ を、標準化された偏差 $|\overline{\mu}(x) - \mu_0| / (\overline{\sigma}'(x)/\sqrt{n})$ を用いて導出する。
• 言語的解釈を用いて、測定は1回のみ許容されることを保証し、理論を一貫性があり解釈可能な枠組みに根ざさせる。
• 提案された逆信頼区間法（定理4）と最尤比検定（定理2）を比較し、量子言語の枠組みにおいてそれらが双対的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初等的統計教科書に一般的に見られる統計的仮説検定の理論的根拠は何か。これは一般的に使われる最尤比検定とは異なる。
• RQ2 片側検定と両側検定の区別は、統一的統計枠組み内でどのように形式的に特徴付けられるか。
• RQ3 なぜ学生のt分布が仮説検定において自然に現れるのか。また、これは恣意的な仮定なしに説明可能か。
• RQ4 測定理論を用いて、信頼区間と仮説検定の間の双対性を形式化できるか。
• RQ5 信頼区間と仮説検定の逆関係は、一貫した基礎理論の自然な結果として導出可能か。

主な発見

• 標準的な教科書の仮説検定—一般的にt検定と信頼区間を含む—が、半距離に基づく棄却域を介した信頼区間構築と数学的に双対的であることが形式的に示された。
• $H_N = \{\mu_0\}$ に対する $\alpha$-棄却域は $\{\overline{\mu}(x) \in \mathbb{R} : \frac{|\overline{\mu}(x) - \mu_0|}{\overline{\sigma}'(x)/\sqrt{n}} \geq t(\alpha/2)\}$ として導出され、これは標準的な両側t検定と一致する。
• $H_N = (-\infty, \mu_0]$ の片側検定では、棄却域は $\{\overline{\mu}(x) \in \mathbb{R} : \mu_0 \leq \overline{\mu}(x) - \frac{\overline{\sigma}'(x)}{\sqrt{n}} t(\alpha)\}$ に変化し、修正された半距離から導出される。
• 学生のt分布は、量子的言語の枠組みにおいて、標準化された平均差の標本分布として自然に生じ、自由度は $n-1$ である。
• 最尤比検定（定理2）と逆信頼区間法（定理4）は双対的であることが示され、後者は初等的統計においてより実用的で直感的である。
• 理論全体は一貫性のある測定理論的基盤（Axiom 1およびAxiom 2）に根ざしており、古典的系において理論的に最終的な結果となる。