[論文レビュー] A Quantum Structure Description of the Liar Paradox

Diederik Aerts, Jan Broekaert+1 more|ArXiv.org|Jun 24, 2001

Quantum Mechanics and Applications被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、有限次元の複素ヒルバート空間を用いて、リー・パラドックスの量子的構造的モデルを提案する。パラドックス的真偽値の振動を、シュレーディンガー方程式に従うユニタリ時間発展演算子によって記述する。二重のリー文の状態は、測定時に真と偽の間を動的に振動する非積状態の重ね合わせとしてモデル化され、ハミルトニアンと時間発展演算子が16次元ヒルバート空間で明示的に構成されている。これにより、パラドックスの挙動の根幹に量子力学的ダイナミクスが存在することが示された。

ABSTRACT

In this article we propose an approach that models the truth behavior of cognitive entities (i.e. sets of connected propositions) by taking into account in a very explicit way the possible influence of the cognitive person (the one that interacts with the considered cognitive entity). Hereby we specifically apply the mathematical formalism of quantum mechanics because of the fact that this formalism allows the description of real contextual influences, i.e. the influence of the measuring apparatus on the physical entity. We concentrated on the typical situation of the liar paradox and have shown that (1) the truth-false state of this liar paradox can be represented by a quantum vector of the non-product type in a finite dimensional complex Hilbert space and the different cognitive interactions by the actions of the corresponding quantum projections, (2) the typical oscillations between false and truth - the paradox -is now quantum dynamically described by a Schrodinger equation. We analyse possible philosophical implications of this result.

研究の動機と目的

• 自己言及的パラドックスの文脈的測定に依存する真偽値の変化を、量子的文脈性にインspiredした認知的実体としてモデル化すること。
• 古典論理が自己言及的パラドックスを扱う際の限界を克服するため、観測者に起因する状態の収束を考慮した量子形式的枠組みを導入すること。
• リー・パラドックスの振動的挙動（真と偽が交互に現れる）が、シュレーディンガー方程式に従うユニタリ時間発展演算によって記述可能であることを示すこと。
• n文からなる自己言及的系にまでこの量子形式的枠組みを拡張し、最小でも2^n次元のヒルバート空間が必要であることを示すこと。
• 認知的プロセスをモデル化する際の量子的構造の哲学的含意を検討し、特に認知における動的変化と文脈性の本質を理解すること。

提案手法

• リー・パラドックスを、真と偽が測定演算子の直交固有状態である複素ヒルバート空間内の認知的実体としてモデル化する。
• 二重リー文の初期状態は、16次元ヒルバート空間（C^4 ⊗ C^4）における重ね合わせ状態として表現され、システムのハミルトニアンの固有状態として特定される。
• システムの時間発展演算は、シュレーディンガー方程式に従い、ハミルトニアン H からユニタリ変換により時間発展演算子 U(t) が導出される。
• ハミルトニアン H と時間発展演算子 U(t) は、基底変換関数 κ を用いて構成され、テンソル積 O_iu ⊗ O_jv に類似した演算子の形に変換される。
• 測定操作は、真または偽の固有状態への射影としてモデル化され、重ね合わせ状態の収束を引き起こし、状態間の動的振動を開始する。
• n文のリー文変種にまで形式的枠組みを拡張する際、ヒルバート空間の次元を少なくとも 2^n に一般化し、二つのスピン3/2粒子が相互作用する構造に基づく。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー・パラドックスを、真偽値の割り当てが文脈依存的で、動的に変化する量子系としてモデル化できるか？
• RQ2 二重リー文における真と偽の間の振動的挙動は、どのように量子力学的ダイナミクスを用いて数学的に記述できるか？
• RQ3 この量子形式的枠組みにおいて、n文の自己言及的パラドックスを表現するために必要な最小ヒルバート空間次元は何か？
• RQ4 量子形式的枠組みは、認知的観測者が命題の真偽状態に与える影響をどの程度まで説明できるか？
• RQ5 この量子的構造的アプローチは、文脈性と動的不整合性を示す他の認知的実体へ一般化可能か？

主な発見

• 二重リー文の状態は、16次元の複素ヒルバート空間内に非積状態の重ね合わせとして表現され、システムのハミルトニアンの固有状態として特定される。これは、測定前の時間不変状態を示している。
• 測定後に、システムはハミルトニアンの固有状態でなくなるため、シュレーディンガー方程式に従う動的発展演算が開始される。
• 時間発展演算子 U(t) は、テンソル積空間 C^4 ⊗ C^4 において明示的に構成され、基底変換関数 κ を通じて行列要素が導出される。
• システムは、二つの文の間で周期的な真偽値の振動を示し、状態は時間 t の関数として変化する。時間に依存する波動関数 Ψ(t) = U(t)Ψ₀ によって示される。
• 初期状態 Ψ₀ は時間発展に対して不変である（Ψ₀(t) = Ψ₀）ため、測定前の静的状態であることが確認される。
• n文のリー系においては、最小でも 2^n 次元のヒルバート空間が必要であり、二重リー文で用いられた同じ量子形式的枠組みを用いて一般化可能である。