[論文レビュー] A quasi-Monte Carlo Method for an Optimal Control Problem Under Uncertainty

Philipp A. Guth, Vesa Kaarnioja+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2019

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、不確実性を伴うPDE制約付き最適制御問題を解くために、ランダムにシフトされたランク1ラティス則を用いた準モンテカルロ（QMC）法を提案する。低不偏性列と非負の重みを活用することで、積分ノード数の逆数に比例する誤差率を達成し、凸性を保ちながら標準モンテカルロ法を上回る収束速度を実現する。

ABSTRACT

We study an optimal control problem under uncertainty, where the target function is the solution of an elliptic partial differential equation with random coefficients, steered by a control function. The robust formulation of the optimization problem is stated as a high-dimensional integration problem over the stochastic variables. It is well known that carrying out a high-dimensional numerical integration of this kind using a Monte Carlo method has a notoriously slow convergence rate; meanwhile, a faster rate of convergence can potentially be obtained by using sparse grid quadratures, but these lead to discretized systems that are non-convex due to the involvement of negative quadrature weights. In this paper, we analyze instead the application of a quasi-Monte Carlo method, which retains the desirable convexity structure of the system and has a faster convergence rate compared to ordinary Monte Carlo methods. In particular, we show that under moderate assumptions on the decay of the input random field, the error rate obtained by using a specially designed, randomly shifted rank-1 lattice quadrature rule is essentially inversely proportional to the number of quadrature nodes. The overall discretization error of the problem, consisting of the dimension truncation error, finite element discretization error and quasi-Monte Carlo quadrature error, is derived in detail. We assess the theoretical findings in numerical experiments.

研究の動機と目的

• 確率的PDE係数を伴うロバスト最適制御問題に生じる高次元積分の課題に対処すること。
• 高次元確率的積分において標準モンテカルロ法の収束が遅いという問題を克服すること。
• スパースグリッド積分法が負の重みを有することにより損なわれる最適制御問題の凸構造を保つこと。
• 次元切断誤差、有限要素離散化誤差、QMC積分誤差を統合的な枠組みで導出し、解析すること。
• 数値実験を通じて手法の有効性を示し、収束速度の妥当性を検証すること。

提案手法

• 本手法は、確率的パラメータ $\boldsymbol{y} \in \Xi = [-1/2, 1/2]^\mathbb{N}$ 上の高次元積分を近似するために、ランダムにシフトされたランク1ラティス積分則を用いる。
• 確率的係数 $a(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$ は、$y_j$ が $[-1/2, 1/2]$ 上に独立同分布に従うとして、線形パラメトリック展開 $\bar{a}(\boldsymbol{x}) + \sum_{j \geq 1} y_j \psi_j(\boldsymbol{x})$ でモデル化される。
• 最適制御問題は、状態 $u$ とターゲット $u_0$ 間の期待値をとった二乗差と、チホノフ正則化項を含む汎関数の最小化として定式化される。
• 空間領域 $\Omega = (0,1)^2$ の離散化には、メッシュ幅 $h = 2^{-6}$ の有限要素法が用いられる。
• 確率的積分は次元 $s = 2^{12}$ で切断され、結果として得られる積分には $n = 2^{15}$ ノードと1つのランダムシフトが用いられる。
• 制御 $z$ の境界を保つために、Armijo則を用いた投影勾配降下法が離散化された最適化問題を解くために用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負の重みを有する準モンテカルロ法を用いることで、高次元確率的最適制御問題におけるより高速な収束を達成できるか？
• RQ2 このクラスのPDE制約付き問題に対して、ランダムにシフトされたランク1ラティス則を用いたQMC積分誤差の収束速度はいかほどか？
• RQ3 次元切断誤差、有限要素離散化誤差、QMC積分誤差の組み合わせ誤差は、全体の解においてどのようにスケーリングされ、相互作用するか？
• RQ4 QMCアプローチは、負の重みを持つスパースグリッド法とは異なり、最適制御問題の凸性を保持するか？
• RQ5 理論的誤差境界は数値的に妥当性を確認できるか？また、実験で観測された収束速度と一致するか？

主な発見

• ランダムにシフトされたランク1ラティス則を用いたQMC法は、状態PDEに対して $\mathcal{O}(n^{-1.01080})$、随伴PDEに対して $\mathcal{O}(n^{-1.012258})$ の収束率を達成し、$\mathcal{O}(n^{-1})$ に近づく。
• 非負の積分重みの使用により、スパースグリッド積分法とは異なり、最適制御問題の凸性が保持される。
• 次元切断誤差、有限要素離散化誤差、QMC誤差を統合した全体の離散化誤差は有界であり、積分ノード数の逆数にほぼ比例する速度で収束する。
• 数値実験により理論的収束速度が確認され、正則化パラメータ $\alpha = 0.1$ が大きい場合により速い収束が観察された。
• 投影勾配降下法は目的汎関数を効果的に最小化でき、制御 $z$ は指定された境界 $z_{\min} \leq z \leq z_{\max}$ 内で妥当で有界な解に収束した。
• 結果は、多層およびマルチインデックスQMC戦略への応用可能性、および高次のQMCルールや異なる目的関数への応用の可能性を示唆している。