[論文レビュー] A quasinonlocal coupling method for nonlocal and local diffusion models

Qiang Du, Xingjie Helen Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2017

Numerical methods in engineering参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、幾何的再構成を用いて1次元において非局所的および局所的拡散モデルを滑らかに結合する準非局所的結合手法を提案する。この手法は、フラックスのバランス、エネルギー保存、最大原理を保証する。界面の不一致や境界のアーチファクトを解消し、非局所的から局所的への結合に関して、初めて厳密な適切性、安定性、およびモデル誤差の見積もりが確立された。

ABSTRACT

In this paper, we extend the idea of "geometric reconstruction" to couple a nonlocal diffusion model directly with the classical local diffusion in one dimensional space. This new coupling framework removes interfacial inconsistency, ensures the flux balance, and satisfies energy conservation as well as the maximum principle, whereas none of existing coupling methods for nonlocal-to-local coupling satisfies all of these properties. We establish the well-posedness and provide the stability analysis of the coupling method. We investigate the difference to the local limiting problem in terms of the nonlocal interaction range. Furthermore, we propose a first order finite difference numerical discretization and perform several numerical tests to confirm the theoretical findings. In particular, we show that the resulting numerical result is free of artifacts near the boundary of the domain where a classical local boundary condition is used, together with a coupled fully nonlocal model in the interior of the domain.

研究の動機と目的

• 非局所的から局所的への拡散モデル結合における界面の不一致および境界層のアーチファクトを解消すること。
• フラックスのバランス、エネルギー保存、最大原理といった主要な物理的性質を保持する結合フレームワークを開発すること。
• 結合された非局所的・局所的問題の適切性とモデル誤差見積もりを確立すること。
• 古典的ディリクレ境界条件を用いた場合に境界付近で不自然なアーチファクトを避ける数値離散化を提供すること。
• 原子論的から連続体への手法における幾何的再構成のアイデアを、非局所的拡散モデルへと拡張すること。

提案手法

• 本手法は、界面での整合性を保証するために幾何的再構成を用い、非局所的拡散作用素と古典的局所的PDEを1次元で結合する。
• 線形の一貫性を保ち、最大原理を満たす準非局所作用素を介して結合を定式化する。
• 解の存在と一意性を保証するため、準非局所版のポンティャーゴリ不等式を用いて適切性を証明する。
• 最大原理を用いたモデル誤差の見積もりにより、ホライズンパラメータδ → 0のときの局所的極限への収束を示す。
• 連続モデルの物理的性質を保つ1次精度の有限差分スキームを提案する。
• 体積的境界条件を古典的ディリクレ条件に置き換えることで、非局所領域における物理的に不自然な境界層を排除する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所的から局所的への結合手法は、同時にフラックスのバランス、エネルギー保存、最大原理を満たすことができるか？
• RQ2 非局所的・局所的拡散モデルの結合において、界面の不一致やゴースト力（擬似力）をどのように排除できるか？
• RQ3 δ → 0のとき、結合された非局所的・局所的解と局所的極限との間のモデル誤差はいかほどか？
• RQ4 幾何的再構成フレームワークを非局所的拡散モデルに適応させ、物理的整合性を確保できるか？
• RQ5 古典的ディリクレ境界条件を用いた場合、提案手法の数値的性能はいかがであるか？

主な発見

• 提案された準非局所的結合手法は、フラックスのバランス、エネルギー保存、最大原理を保証する。これらの性質は、既存の結合手法では満たされていない。
• 解の存在と一意性を保証するため、準非局所版のポンティャーゴリ不等式を用いて、結合問題の適切性を厳密に証明した。
• 最大原理を用いたモデル誤差見積もりにより、δ → 0のときの局所的極限への収束を示した。
• 数値実験により、L∞ノルム下で解および勾配ともに1次収束が確認され、収束次数は0.99～1.00であった。
• 古典的ディリクレ境界条件を用いた場合、完全に非局所的モデルにおける体積的制約が引き起こす不自然な境界層を、本手法が効果的に除去した。
• 局所的・非局所的・局所的結合形式により、源項の特異的挙動を正確に捉え、非局所領域両端で局所的解と一致することが確認された。