[論文レビュー] A Quaternion-based Certifiably Optimal Solution to the Wahba Problem with Outliers

Heng Yang, Luca Carlone|arXiv (Cornell University)|May 29, 2019

Robotics and Sensor-Based Localization参考文献 45被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、クaternionに基づく半定値計画法の緩和を用いて、外れ値を含むロバストWahba問題に対して、証明可能に最適で多項式時間で解けるQUASARを提案する。単位クォータニオンに置き換えた切断最小二乗コスト関数を再定式化し、タイトなSDP緩和を活用することで、95％の外れ値が存在する状況でもグローバル最適性と証明可能な解を得られる。RANSAC、局所的ソルバーや分枝限定法と比較して、精度と耐性の面で優れている。

ABSTRACT

The Wahba problem, also known as rotation search, seeks to find the best rotation to align two sets of vector observations given putative correspondences, and is a fundamental routine in many computer vision and robotics applications. This work proposes the first polynomial-time certifiably optimal approach for solving the Wahba problem when a large number of vector observations are outliers. Our first contribution is to formulate the Wahba problem using a Truncated Least Squares (TLS) cost that is insensitive to a large fraction of spurious correspondences. The second contribution is to rewrite the problem using unit quaternions and show that the TLS cost can be framed as a Quadratically-Constrained Quadratic Program (QCQP). Since the resulting optimization is still highly non-convex and hard to solve globally, our third contribution is to develop a convex Semidefinite Programming (SDP) relaxation. We show that while a naive relaxation performs poorly in general, our relaxation is tight even in the presence of large noise and outliers. We validate the proposed algorithm, named QUASAR (QUAternion-based Semidefinite relAxation for Robust alignment), in both synthetic and real datasets showing that the algorithm outperforms RANSAC, robust local optimization techniques, global outlier-removal procedures, and Branch-and-Bound methods. QUASAR is able to compute certifiably optimal solutions (i.e. the relaxation is exact) even in the case when 95% of the correspondences are outliers.

研究の動機と目的

• 標準的最小二乗法が失敗する極端な外れ値状況（例：95％の外れ値）におけるWahba問題の解法に直面する課題に対処すること。
• 分枝限定法の指数的計算量を避けるために、多項式時間で実行可能なグローバル最適で証明可能な解法を構築すること。
• 標準的最小二乗法に代えて切断最小二乗（TLS）コスト関数を採用することで、高ノイズおよび大規模な外れ値比に対して耐性を高めること。
• クォータニオンに基づく最適化問題のタイトな半定値計画（SDP）緩和を構築することで、証明可能な最適性を実現すること。
• RANSAC やロバスト局所最適化、グローバル外れ値除去手法など、既存の手法と比較して、極端な条件下でも精度と信頼性に優れた性能を発揮すること。

提案手法

• 大きな残差を持つ測定値に対して定数コストを割り当てる切断最小二乗（TLS）コスト関数を用いて、ロバストWahba問題を定式化し、外れ値に対して不変となるようにする。
• 回転を表すために単位クォータニオンを用いることで、より自然で数値的に安定した最適化フレームワークを実現する。
• インライナー／アウトライアーの意思決定をモデル化するために二値変数を導入し、TLSコストを混合整数二次計画問題（QCQP）に変換する。
• 問題を高次元空間に持ち上げ、ランク制約を緩和することで、クォータニオンに基づくQCQPに対する凸的半定値計画（SDP）緩和を導出する。
• 元の問題と同等性を保ちつつ、収束性と最適性の証明を向上させる、余分だが妥当な制約を追加することで、緩和のタイトさを向上させる。
• 双対ギャップを用いてグローバル最適性を証明する：双対ギャップがゼロであれば、緩和が正確であり、解が証明可能に最適であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大95％の外れ値が存在するロバストWahba問題に対して、多項式時間で証明可能に最適な解を計算できるか？
• RQ2 高ノイズおよび極端な外れ値比下でも、ナイーブなアプローチと比較して、クォータニオンに基づくSDP緩和はよりタイトな緩和を提供するか？
• RQ3 提案手法は、RANSAC や他の最先端のロバストソルバーと比較して、外れ値率が高い状況下でも推定精度と耐性に優れているか？
• RQ4 大きなノイズと外れ値が存在する状況下でも、双対ギャップはグローバル最適性の信頼できる証明として機能するか？
• RQ5 局所最適化手法とは異なり、初期推定値を必要とせず、グローバル最適性を達成できるか？

主な発見

• QUASARは、95％の対応が外れ値であっても、すべてのテストケースで双対ギャップがゼロであることを確認し、証明可能に最適な解を達成している。
• 低ノイズ下で96％の外れ値を含む合成実験では、GORE、BnB-L2、BnB-Angはすべて失敗したが、QUASARは正常に最適解を計算した。
• インライナーのノイズが高い状況（σ = 0.1）でも、QUASARは80％までの外れ値率に対して耐性を示し、すべての競合手法よりも低い回転推定誤差を達成した。
• PASSTA Lunch Roomデータセットでは、12組の画像ペアすべてを正常にスタイチングした。特に、66％のSURF外れ値比を持つ最も挑戦的なペア（7,13）に対しても、RANSACベースのスタイチングは完全に失敗したが、QUASARは成功した。
• 12組の画像スタイチングタスク全体における平均相対双対ギャップは1.40e-09であり、最適性ギャップがほぼゼロであり、解の証明可能な信頼性が示された。
• 解行列の安定ランクはほぼ1（1 + 8.33e-17）であり、解行列がランク1であることが確認され、緩和の正確性が裏付けられた。