[論文レビュー] A Qubit, a Coin, and an Advice String Walk Into a Relational Problem

Scott Aaronson, Harry Buhrman+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、多項式サイズの量子アドバイスを用いた量子多項式時間で解ける関係的問題であるFBQP/qpoly—複雑性クラスを導入し、その性質を調査する。そして、未前提の仮定を用いずに、FBQP/qpoly ≠ FBQP/polyであることを証明する。これは、決定的クラスとは対照的である。分離は、Bar-Yossef, Jayram, and Kerenidisが提唱した量子ワンウェイ通信複雑性のギャップを再利用することで達成され、近い将来の実験的「量子情報優位性」の実証への道筋を提供する。

ABSTRACT

Relational problems (those with many possible valid outputs) are different from decision problems, but it is easy to forget just how different. This paper initiates the study of FBQP/qpoly, the class of relational problems solvable in quantum polynomial-time with the help of polynomial-sized quantum advice, along with its analogues for deterministic and randomized computation (FP, FBPP) and advice (/poly, /rpoly). Our first result is that FBQP/qpoly ≠ FBQP/poly, unconditionally, with no oracle - a striking contrast with what we know about the analogous decision classes. The proof repurposes the separation between quantum and classical one-way communication complexities due to Bar-Yossef, Jayram, and Kerenidis. We discuss how this separation raises the prospect of near-term experiments to demonstrate "quantum information supremacy," a form of quantum supremacy that would not depend on unproved complexity assumptions. Our second result is that FBPP ̸ ⊂ FP/poly - that is, Adleman’s Theorem fails for relational problems - unless PSPACE ⊂ NP/poly. Our proof uses IP = PSPACE and time-bounded Kolmogorov complexity. On the other hand, we show that proving FBPP ̸ ⊂ FP/poly will be hard, as it implies a superpolynomial circuit lower bound for PromiseBPEXP. We prove the following further results: - Unconditionally, FP ≠ FBPP and FP/poly ≠ FBPP/poly (even when these classes are carefully defined). - FBPP/poly = FBPP/rpoly (and likewise for FBQP). For sampling problems, by contrast, SampBPP/poly ≠ SampBPP/rpoly (and likewise for SampBQP).

研究の動機と目的

• FBQP/qpoly、すなわちBQPの関係的類似物に当たる、量子アドバイスを伴う複雑性クラスを形式的に定義し、それと同様に古典的および確率的アドバイスを伴うクラスを研究すること。
• Adlemanの定理（BPP ⊂ P/poly）が関係的問題へと拡張可能かどうかを調査し、その成立に必要な条件を同定すること。
• 関係的計算における量子アドバイスの能力を調査し、量子優位性の近い将来の実験的検証への可能性を検討すること。
• 特にSampBPP/polyとSampBPP/rpolyの違いに注目し、アドバイス付きのサンプリングクラスと関係的クラスの違いを明確にすること。
• 非構成的確率的技法に依存せず、明示的かつ構成可能な問題を同定し、FBQP/qpolyとFBQP/rpolyの分離を実現すること。

提案手法

• Bar-Yossef, Jayram, and Kerenidisが提唱した量子ワンウェイ通信複雑性の分離を再利用し、FBQP/qpolyに属するがFBQP/polyに属さない関係的問題を構成する。
• 時間制限付きコルモゴロフ複雑性と時間制限付き停止問題を用いて、FBPPに属するがFPに属さない明示的問題の例を構成する。
• IP = PSPACEと時間制限付きコルモゴロフ複雑性を応用し、PSPACE ⊂ NP/polyでない限り、FBPP ⊄ FP/polyであることを示す。
• サンプリング問題とそれに対応する関係的問題との関係を用い、全変動距離を用いて誤差を制限することで、SampBQP/rpoly ≠ SampBQP/qpolyであることを確立する。
• 数え上げと確率的技法を用い、ある種のサンプリング問題が、確率的アドバイスを用いてもSampBPP/polyに属さないことを示す。
• 量子アドバイス状態を準備するための回路複雑性を分析し、単一キュービット測定などの単純な測定が分離を達成するのに十分かどうかを検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FBQP/qpolyはFBQP/polyよりも厳密に大きい可能性があるか？ もしそうなら、オракルを用いない未前提の証明は可能か？
• RQ2 関係的問題においてAdlemanの定理は失敗するのか？ その成立に必要な複雑性理論的仮定は何か？
• RQ3 FBQP/qpolyとFBQP/rpolyの分離を、確率的技法に依存せず、明示的・構成的に行うことは可能か？
• RQ4 このような分離を実現するための量子アドバイス状態を準備するのに必要な最小の回路複雑性は何か？
• RQ5 この分離を、近い将来の「量子情報優位性」の実験的検証に応用できるか？

主な発見

• FBQP/qpoly ≠ FBQP/poly は、オラクルを一切用いずに未前提に成立し、関係的計算における量子的・古典的アドバイスの根本的差を示している。
• 分離は、既知の量子ワンウェイ通信複雑性のギャップを再利用することで達成され、n qubitsの量子アドバイスが、Ω(2^n/2)ビットの古典的確率的アドバイスが必要な関係的問題を解けることを示している。
• PSPACE ⊂ NP/polyでない限り、FBPP ⊄ FP/poly である。これは、Adlemanの定理が標準の複雑性仮定のもとで関係的問題へと拡張されないことを示している。
• FBPP/poly = FBPP/rpoly かつ FBQP/poly = FBQP/rpoly であるが、SampBPP/poly ≠ SampBPP/rpoly および SampBQP/poly ≠ SampBQP/rpoly である。これは、サンプリングクラスと関係的クラスの間で顕著な非対称性があることを示している。
• SampBQP/rpoly ≠ SampBQP/qpoly である。これは、関係的問題に対する量子アドバイスに基づく解の出力分布からのサンプリングを、古典的確率的アドバイスではシミュレートできないことを示している。
• 本論文では、関係的問題に対する古典的アドバイスの下界がΩ(2^n)に達する可能性があると予想しているが、現在の境界はΩ(2^n/2)にとどまっている。