[論文レビュー] A quenched invariance principle for stationary processes

Christophe Cuny, Dalibor Volný|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 18被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、ハンナン条件の下で定常過程に対するクエンチド不変性原理を確立し、条件付き中心化された部分和がクエンチド測度の下でほとんど確実にブラウン運動に弱収束することを証明する。主な貢献は、中心化された和過程を、定常増分を持つマルティンゲールとカップリングすることにより、ハンナン条件の下で関数中央極定理のクエンチド収束を保証することにある。

ABSTRACT

In this note, we prove a conditionally centered version of the quenched weak invariance principle under the Hannan condition, for stationary processes. In the course, we obtain a (new) construction of the fact that any stationary process may be seen as a functional of a Markov chain.

研究の動機と目的

• ハンナン条件の下で定常過程に対するクエンチド弱不変性原理を確立し、クエンチド中心極限定理を関数的収束へ拡張すること。
• 中心化された和過程 $ \bar{S}_n = S_n - \mathbb{E}_0(S_n) $ がハンナン条件の下でクエンチド弱不変性原理を満たすことの証明。
• 任意の定常過程が条件付き期待値作用素 $ Q $ を通じてマコフ連鎖の関数として表現可能であるという新たな構成を提供すること。
• 正規化された経路 $ \bar{S}_n(t)/\sqrt{n} $ が $ \mu $-ほとんど確実なクエンチド測度の下で標準ブラウン運動にクエンチド収束することの証明。

提案手法

• 条件付き期待値作用素 $ Qh = \mathbb{E}_0(h \circ \theta) $ を用いてマコフ遷移核を定義し、元の過程の定常マコフ連鎖表現を構成すること。
• シフト作用素 $ \theta $ のスペクトル的性質を活用し、$ f_i = P_0(U^i f) $ を用いて中心化された和 $ \bar{S}_n(f) $ をマルティンゲール増分の級数に分解すること。
• ドーブの最大不等式を条件付きに適用し、$ \mathbb{E}_0(\max_{1 \leq n \leq N} \bar{S}_n^2) $ を制御することで、クエンチド設定における $ L^2 $-型の境界を得ること。
• ダンフォード＝シュワーツのエルゴード定理と弱 $ L^2 $-空間の推定を用いて、$ (f_i^2)^* $ の最大関数を制御し、$ \mu $-ほとんど確実な収束下での可積分性を保証すること。
• クエンチド測度の下で $ \mathbb{E}_0(\max_{1 \leq n \leq N} (\bar{S}_n - M_n)^2) = o(N) $ が成り立つようなマルティンゲール $ (M_n) $ を構成することにより、クエンチド意味での漸近的同値性を証明すること。
• マルティンゲールとのカップリングと連続写像定理に依拠し、有限次元分布の収束とトゥイストネスを用いてクエンチド弱収束を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハンナン条件を満たす定常過程に対して、クエンチド弱不変性原理は成り立つか？
• RQ2 中心化された和過程 $ \bar{S}_n $ はクエンチド $ L^2 $-意味でマルティンゲールに近似可能か？
• RQ3 任意の定常過程を条件付き期待値作用素 $ Q $ を通じて定常マコフ連鎖の関数として表現することは可能か？
• RQ4 正規化された $ \bar{S}_n(t)/\sqrt{n} $ に対して、クエンチド関数中央極定理が成り立つ条件は何か？
• RQ5 作用素 $ Q $ はどのように定常過程のマコフ的表現の構築を支援するか？

主な発見

• クエンチド弱不変性原理が成り立つ：$ \mu $-ほとんど確実な $ x $ に対して、$ \bar{S}_n(t)/\sqrt{n} $ のクエンチド分布は標準ブラウン運動 $ \sigma W_t $ の分布に弱収束する。
• 中心化された和過程 $ \bar{S}_n $ は、$ \mathbb{E}_0(\max_{1 \leq n \leq N} (\bar{S}_n - M_n)^2) = o(N) $ を $ \mu $-ほとんど確実に満たし、定常エルゴード増分を持つマルティンゲール $ (M_n) $ と漸近的に同値であることを証明する。
• 極限分散 $ \sigma^2 = \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}(S_n^2)/n $ は、ハンナン条件の下で $ \mu $-ほとんど確実に存在し、有限である。
• 条件 $ \sum_{n \geq 1} \frac{\|\mathbb{E}_0(X_n)\|_2}{\sqrt{n}} < \infty $ はハンナン条件を含み、$ S_n(t) $ に対してもクエンチドWIPを保証するが、$ \bar{S}_n(t) $ のみに限らない。
• 作用素 $ Q $ を用いた新たなマコフ連鎖表現が構成され、すべての定常過程が、遷移核 $ Q(x, dy) = \mu(x, dy) $ を持つ定常で時刻不変のマコフ連鎖の関数として生じることを示している。
• 最大関数 $ ((f_i^2)^*)^{1/2} $ は弱 $ L^2 $-空間 $ L^{2,w} $ に属し、これによりクエンチド最大 $ L^2 $-ノルムのほとんど確実な有限性が保証される。